Considere f:] 1,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} definida por
f(\alpha)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha^{x}-1}{x}
Assim, para todo \alpha>1, a expressão
f(\alpha)+f\left(\alpha^{-1}\right)
vale:
(d) e^{-1}
(e) e^{-2}

Passo 1

O enunciado define
f(\alpha)=\lim_{x\to0}\frac{\alpha^x-1}{x}
para \alpha>1 e pede o valor de f(\alpha)+f(\alpha^{-1}). O conteúdo principal é reconhecer esse limite como a derivada de \alpha^x em x=0.

Passo 2

Note que
\alpha^x = e^{x\ln\alpha}.
Logo, usando a definição de derivada em x=0, temos
f(\alpha) =\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln\alpha}-1}{x} =(e^{x\ln\alpha})'\Big|_{x=0} =\ln(\alpha)\,e^{0} =\ln(\alpha).

Passo 3

Agora, para \alpha^{-1}, segue o mesmo raciocínio:
f(\alpha^{-1}) =\ln\bigl(\alpha^{-1}\bigr) =-\ln(\alpha).

Passo 4

Somando as duas expressões:
f(\alpha)+f(\alpha^{-1}) =\ln(\alpha)+\bigl(-\ln(\alpha)\bigr) =0.

Resposta

0

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