Considere as seguintes matrizes inversíveis
A=(rrr 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 ), B=(rrr 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) e C=(lll 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 )
a) Encontre a expressão de X tal que B A X=C.
b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X que satisfaz
B,A,X = C
onde A, B e C são matrizes inversíveis. Como temos matrizes inversíveis, vamos usar propriedades de inversão e multiplicação para isolar X e depois obter X^-1.

Passo 2

Multiplicamos `a esquerda por B^-1 e depois por A^-1, obtendo
X = A^-1,B^-1,C

Passo 3

Calculamos B^-1. Partindo de
B = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
vemos que basta inverter o sinal do -1 em B12. Logo,
B^-1 = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Calculamos A^-1 por eliminação de Gauss partindo de
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2
O resultado é
A^-1 = 34 & 14 & -12 12 & -12 & 0 -14 & 14 & 12

Passo 5

Computamos
B^-1C = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 = 1 & 3 & 3 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
e em seguida
X = A^-1,(B^-1C) = 34 & 14 & -12 12 & -12 & 0 -14 & 14 & 12 1 & 3 & 3 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 = 14 & 2 & 94 12 & 1 & 12 14 & 0 & 14

Passo 6

Para achar X^-1 usamos
X^-1 = C^-1,B,A
Primeiro calculamos
C^-1 = -12 & -12 & 32 1 & 0 & -1 -12 & 12 & 12
por eliminação de Gauss na matriz
C= 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1

Passo 7

Em seguida
BA = 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 = 0 & 2 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2
e por fim
X^-1 =C^-1,(BA) = -12 & -12 & 32 1 & 0 & -1 -12 & 12 & 12 0 & 2 & 0 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 = -12 & 1 & 52 0 & 1 & -2 12 & -1 & 32

Resposta

X= 14 & 2 & 94 12 & 1 & 12 14 & 0 & 14 , X^-1= -12 & 1 & 52 0 & 1 & -2 12 & -1 & 32

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