Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real
? Justifique sua resposta.
.
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial real
(funções de
em
com soma e multiplicação escalar ponto a ponto) e do subconjunto
Queremos ver se
é subespaço vetorial. Para isso, precisamos checar três propriedades:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificar que a função zero
pertence a
.
Temos e
, logo
Temos
então
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Se
, então
Logo
ou seja,
.
Passo 4
Verificar fechamento sob múltiplo escalar. Se
e
, então
logo
.
Passo 5
Como
contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.