Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (F(R),+, cdot) ? Justifique sua resposta.
W=f R R ; f(1)=2 f(5).

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial real F(R) (funções de R em R com soma e multiplicação escalar ponto a ponto) e do subconjunto
W = ,fcolonRtoRmid f(1)=2f(5)
Queremos ver se W é subespaço vetorial. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Se f,gin W então f+gin W.
  3. Se fin W e alphainR então alpha fin W.

Passo 2

Verificar que a função zero f0(x)=0 pertence a W.
Temos f0(1)=0 e f0(5)=0, logo
f0(1)=0 = 2cdot 0 = 2f0(5),
então f0in W.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Se f,gin W, então
f(1)=2f(5) e g(1)=2g(5)
Logo
(f+g)(1) = f(1)+g(1) = 2f(5)+2g(5) = 2l(f(5)+g(5)r) = 2,(f+g)(5),
ou seja, f+gin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob múltiplo escalar. Se fin W e alphainR, então
(alpha f)(1) = alpha,f(1) = alpha,(2f(5)) = 2l(alpha,f(5)r) = 2,(alpha f)(5),
logo alpha fin W.

Passo 5

Como W contém a função zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de F(R).

Resposta

W é subespaço vetorial de l(F(R),+,cdotr).

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