Verifique em cada item a seguir se
é um subespaço vetorial de
.
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se é subespaço vetorial de
. Para isso, precisamos checar três propriedades:
e pede para verificar se
-
contém o vetor zero. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Como sua coordenada
e
, temos
. Logo, a primeira propriedade está satisfeita.
Passo 3
Tomemos
. Isso significa
e
. No vetor soma
a coordenada
vale
. Como soma de dois números não-positivos é não-positiva,
. Portanto, a soma também pertence a
, e a segunda propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora considere um escalar arbitrário
e um vetor
, isto é,
. No produto escalar
a coordenada
torna-se
. Se
for negativo e
, então
, e o vetor resultante não fica em
. Por exemplo, para
e
, temos
, logo
. Portanto,
não é fechado sob multiplicação por escalar.