Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
W=(x, y, z) in R^3 ; y <= 0.

Passo 1

O enunciado define
W=(x,y,z)inR^3 mid y<= 0
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de V=R^3. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Como sua coordenada y=0 e 0<=0, temos (0,0,0)in W. Logo, a primeira propriedade está satisfeita.

Passo 3

Tomemos ,(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)in W. Isso significa y1<=0 e y2<=0. No vetor soma
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
a coordenada y vale y1+y2. Como soma de dois números não-positivos é não-positiva, y1+y2<=0. Portanto, a soma também pertence a W, e a segunda propriedade está satisfeita.

Passo 4

Agora considere um escalar arbitrário alphainR e um vetor (x,y,z)in W, isto é, y<=0. No produto escalar
alpha,(x,y,z)=(alpha x,;alpha y,;alpha z)
a coordenada y torna-se alpha y. Se alpha for negativo e y<0, então alpha y>0, e o vetor resultante não fica em W. Por exemplo, para alpha=-1 e (0,-1,0)in W, temos -1cdot(-1)=1>0, logo (-1),(0,-1,0)=(0,1,0)notin W. Portanto, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V=R^3.

Exercícios relacionados