Considere as seguintes matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 6 & 7\end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc}0 & 4 \\\\ 2 & -8\end{array}\right) ; C=\left(\begin{array}{ccc}-6 & 9 & -7 \\\\ 7 & -3 & -2\end{array}\right) ; D= \left(\begin{array}{ccc}-6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 ; \\\\ -6 & 0 & 6\end{array}\right) ; E=\left(\begin{array}{ccc}6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 ; \\\\ -6 & 0 & -1\end{array}\right). Calcule, se possível:
A^{t} \cdot B

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto da transposta de A pela matriz B. O conteúdo envolvido é transposição de matrizes e multiplicação de matrizes quadradas de ordem 2. Vamos primeiro obter \,A^t e depois aplicar a definição de multiplicação de matrizes.

Passo 2

A matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 0\\\ 6 & 7\end{pmatrix}
tem transposta
A^t = \begin{pmatrix}2 & 6\\\ 0 & 7\end{pmatrix},
pois trocamos linhas por colunas.

Passo 3

Para multiplicar \,A^t pela matriz
B = \begin{pmatrix}0 & 4\\\ 2 & -8\end{pmatrix}
usamos a regra
(A^tB)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} (A^t)_{ik}\,B_{kj}.

Passo 4

Calculemos cada entrada de A^tB:
(A^tB)_{11} = 2\cdot0 + 6\cdot2 = 12,
(A^tB)_{12} = 2\cdot4 + 6\cdot(-8) = 8 - 48 = -40,
(A^tB)_{21} = 0\cdot0 + 7\cdot2 = 14,
(A^tB)_{22} = 0\cdot4 + 7\cdot(-8) = -56.

Resposta

A^t \cdot B = \begin{pmatrix}12 & -40\\\ 14 & -56\end{pmatrix}.

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