Considere as seguintes matrizes A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 6 & 7\end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc}0 & 4 \\\\ 2 & -8\end{array}\right) ; C=\left(\begin{array}{ccc}-6 & 9 & -7 \\\\ 7 & -3 & -2\end{array}\right) ; D= \left(\begin{array}{ccc}-6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 ; \\\\ -6 & 0 & 6\end{array}\right) ; E=\left(\begin{array}{ccc}6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 ; \\\\ -6 & 0 & -1\end{array}\right). Calcule, se possível:
D^{2}-D \cdot E

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz D^{2} - D\cdot E, onde
D = \begin{pmatrix} -6 & 4 & 0\\\\ 1 & 1 & 4\\\\ -6 & 0 & 6 \end{pmatrix}, \quad E = \begin{pmatrix} 6 & 9 & -9\\\\ -1 & 0 & -4\\\\ -6 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é multiplicação de matrizes, usando a regra
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,B_{kj}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular D^{2} = D\cdot D. Para cada entrada (D^{2})_{ij} somamos produtos da linha i de D pela coluna j de D. Fazendo todos os cálculos, obtemos
D^{2} = \begin{pmatrix} 40 & -20 & 16\\\\ -29 & 5 & 28\\\\ 0 & -24 & 36 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora calculamos D\cdot E pelo mesmo princípio:
D\cdot E = \begin{pmatrix} -40 & -54 & 38\\\\ -19 & 9 & -17\\\\ -72 & -54 & 48 \end{pmatrix}.

Passo 4

Finalmente, subtraímos termo a termo:
D^{2} - D\cdot E = \begin{pmatrix} 40 -(-40) & -20 -(-54) & 16 - 38\\\\ -29 -(-19) & 5 - 9 & 28 -(-17)\\\\ 0 -(-72) & -24 -(-54) & 36 - 48 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 80 & 34 & -22\\\\ -10 & -4 & 45\\\\ 72 & 30 & -12 \end{pmatrix}.

Resposta

D^{2} - D\cdot E = \begin{pmatrix} 80 & 34 & -22\\\\ -10 & -4 & 45\\\\ 72 & 30 & -12 \end{pmatrix}.

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