Considere as seguintes matrizes
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 6 & 7 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rr} 0 & 4 \\\\ 2 & -8 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 9 & -7 \\\\ 7 & -3 & -2 \end{array}\right]
D=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ -6 & 0 & 6 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 \\\\ -6 & 0 & -1 \end{array}\right]
Se for possível calcule:
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes D e E (ambas 3\times3) e pede para calcular
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}.
As matrizes fornecidas são:
D=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ -6 & 0 & 6 \end{array}\right], \qquad E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 \\\\ -6 & 0 & -1 \end{array}\right].
O que precisamos entregar é uma matriz 3\times3 resultante da expressão acima.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as propriedades do operador transposta que vou usar (de forma bem direta, para você aplicar na prova):
  • Definição rápida: a transposta de uma matriz A, denotada A^{t}, troca linhas por colunas; o elemento na linha i, coluna j de A^{t} é o elemento na linha j, coluna i de A.
  • Linearidade da transposta (fórmulas importantes): (kA)^{t}=kA^{t}\quad\text{(multiplicação por escalar pode sair da transposta)},çã
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\quad\text{(transposta distribui sobre soma)},
(A^{t})^{t}=A\quad\text{(transpor duas vezes volta à matriz original).}à
Essas propriedades valem para quaisquer matrizes com dimensões compatíveis e para qualquer escalar k. São fáceis de lembrar: transpor só reorganiza entradas; multiplicar por escalar e somar são operações que acontecem entrada a entrada, então a ordem com a transposta pode ser trocada.

Passo 3

Aplicando as propriedades acima à expressão \left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t} temos:
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}=2\left(D^{t}\right)^{t}-3\left(E^{t}\right)^{t}.
Usando \left(A^{t}\right)^{t}=A para A=D e A=E, isso simplifica para
\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}=2D-3E.
Ou seja: em vez de transpor cada termo e depois transpor tudo de novo, posso simplesmente calcular 2D-3E. Isso é o truque que economiza tempo na prova.

Passo 4

Agora calculo 2D multiplicando cada entrada de D por 2. Escrevo D e em seguida 2D:
D=\left[\begin{array}{rrr} -6 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 4 \\\\ -6 & 0 & 6 \end{array}\right] \quad\Longrightarrow\quad 2D=\left[\begin{array}{rrr} 2\cdot(-6) & 2\cdot 4 & 2\cdot 0 \\\\ 2\cdot 1 & 2\cdot 1 & 2\cdot 4 \\\\ 2\cdot(-6) & 2\cdot 0 & 2\cdot 6 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} -12 & 8 & 0 \\\\ 2 & 2 & 8 \\\\ -12 & 0 & 12 \end{array}\right].

Passo 5

Agora calculo 3E multiplicando cada entrada de E por 3. Escrevo E e em seguida 3E:
E=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 9 & -9 \\\\ -1 & 0 & -4 \\\\ -6 & 0 & -1 \end{array}\right] \quad\Longrightarrow\quad 3E=\left[\begin{array}{rrr} 3\cdot 6 & 3\cdot 9 & 3\cdot(-9) \\\\ 3\cdot(-1) & 3\cdot 0 & 3\cdot(-4) \\\\ 3\cdot(-6) & 3\cdot 0 & 3\cdot(-1) \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr} 18 & 27 & -27 \\\\ -3 & 0 & -12 \\\\ -18 & 0 & -3 \end{array}\right].

Passo 6

Faço a subtração entrada a entrada 2D-3E. Vou calcular cada entrada do resultado (linha por linha, coluna por coluna):
  • Entrada (1,1):
-12 - 18 = -30.
  • Entrada (1,2):
8 - 27 = -19.
  • Entrada (1,3):
0 - (-27) = 27.
  • Entrada (2,1):
2 - (-3) = 5.
  • Entrada (2,2):
2 - 0 = 2.
  • Entrada (2,3):
8 - (-12) = 20.
  • Entrada (3,1):
-12 - (-18) = 6.
  • Entrada (3,2):
0 - 0 = 0.
  • Entrada (3,3):
12 - (-3) = 15.
Esses nove números são as entradas da matriz resultante, na ordem usual por linhas.

Resposta

\left(2 D^{t}-3 E^{t}\right)^{t}= \left[\begin{array}{rrr} -30 & -19 & 27 \\\\ 5 & 2 & 20 \\\\ 6 & 0 & 15 \end{array}\right]

Exercícios relacionados