Retas no espaço podem ser classificadas quanto à sua posição relativa como sendo paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Considerando isso, como são classificadas as retas definidas pelas equações a seguir? s: \frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z}{5} r:\left\{\begin{array}{l}x=5+t \\\ y=-3+2 t \\\ z=-5 t\end{array}\right.
◯ a. Paralelas
◯ b. Concorrentes
◯ c. Simétricas
◯ d. Coincidentes
◯ e. Reversas
Passo 1
O enunciado pede para classificar a posição relativa entre duas retas no espaço: s\) e \(r\). As equações dadas são:
- \(s: \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{5}\).
- \(r:\begin{cases}x=5+t\y=-3+2t\z=-5t\end{cases}.
O que precisamos decidir: se as retas são paralelas, concorrentes (isto é, intersectam em um ponto), coincidentes, simétricas (opção estranha aqui), ou reversas (escorregadias/no jargão: reversas = “skew”, não coplanares sem interseção).
Informações que temos: uma reta s em forma simétrica e uma reta r em forma paramétrica.
Passo 2
Transformar s da forma simétrica para a forma paramétrica (isso facilita comparar com r). Se \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{5}=\lambda, então escrevemos cada coordenada em função do parâmetro \lambda:
Explicando: a forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} significa que a reta passa pelo ponto (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor (a,b,c).
Portanto, para s obtemos:
ponto de referência em s: P_s=(1,-3,0) (peguei isso da expressão com \lambda=0),
vetor diretor de s: v_s=(4,-2,5).
Passo 3
Extrair de r o ponto e o vetor diretor. A forma paramétrica x=5+t,\;y=-3+2t,\;z=-5t corresponde a:
ponto de referência em r: P_r=(5,-3,0) (para t=0),
vetor diretor de r: v_r=(1,2,-5).
Explicando: em x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct o vetor diretor é (a,b,c) e o ponto é (x_0,y_0,z_0).
Passo 4
Testar se as retas são paralelas (ou coincidentes) verificando se os vetores diretores são proporcionais. Isso significa procurar k tal que v_s = k v_r. Comparando componentes:
(4,-2,5)\overset{?}{=}k(1,2,-5).
Da primeira componente obtemos k=4. Usando a segunda componente teríamos -2 \overset{?}{=}4\cdot 2 =8, o que não é verdade. Logo não existe k que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente.
Conclusão: os vetores diretores não são proporcionais, portanto as retas não são paralelas nem coincidentes.
Passo 5
Como não são paralelas, restam duas possibilidades: concorrem (intersectam) ou são reversas (skew, não se intersectam e não são paralelas). Para decidir, procuramos solução para os parâmetros \lambda e t que faça as coordenadas iguais, isto é, resolver o sistema
As duas relações são equivalentes e consistentes (ambas implicam t=-\lambda), então ainda é possível haver solução. Substituindo t=-\lambda na primeira equação:
As coordenadas coincidem, então existe um ponto comum \left(\dfrac{21}{5},-\dfrac{23}{5},4\right). Portanto as retas se intersectam em um ponto.
Passo 8
Interpretação final: as retas não são paralelas (nem coincidentes) e têm um ponto em comum, logo são concorrentes (ou seja, intersectam-se em um único ponto). A opção correta é a letra b.