Questão 2

Retas no espaço podem ser classificadas quanto à sua posição relativa como sendo paralelas, coincidentes, concorrentes ou reversas. Considerando isso, como são classificadas as retas definidas pelas equações a seguir?
s: \frac{x-1}{4}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z}{5}
r:\left\{\begin{array}{l}x=5+t \\\ y=-3+2 t \\\ z=-5 t\end{array}\right.
◯ a. Paralelas
◯ b. Concorrentes
◯ c. Simétricas
◯ d. Coincidentes
◯ e. Reversas

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição relativa entre duas retas no espaço: s\) e \(r\). As equações dadas são: - \(s: \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{5}\). - \(r:\begin{cases}x=5+t\y=-3+2t\z=-5t\end{cases}.
O que precisamos decidir: se as retas são paralelas, concorrentes (isto é, intersectam em um ponto), coincidentes, simétricas (opção estranha aqui), ou reversas (escorregadias/no jargão: reversas = “skew”, não coplanares sem interseção).
Informações que temos: uma reta s em forma simétrica e uma reta r em forma paramétrica.

Passo 2

Transformar s da forma simétrica para a forma paramétrica (isso facilita comparar com r). Se \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z}{5}=\lambda, então escrevemos cada coordenada em função do parâmetro \lambda:
x=1+4\lambda,\qquad y=-3-2\lambda,\qquad z=5\lambda.
Explicando: a forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} significa que a reta passa pelo ponto (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor (a,b,c).
Portanto, para s obtemos:
  • ponto de referência em s: P_s=(1,-3,0) (peguei isso da expressão com \lambda=0),
  • vetor diretor de s: v_s=(4,-2,5).

Passo 3

Extrair de r o ponto e o vetor diretor. A forma paramétrica x=5+t,\;y=-3+2t,\;z=-5t corresponde a:
  • ponto de referência em r: P_r=(5,-3,0) (para t=0),
  • vetor diretor de r: v_r=(1,2,-5).
Explicando: em x=x_0+at, y=y_0+bt, z=z_0+ct o vetor diretor é (a,b,c) e o ponto é (x_0,y_0,z_0).

Passo 4

Testar se as retas são paralelas (ou coincidentes) verificando se os vetores diretores são proporcionais. Isso significa procurar k tal que v_s = k v_r. Comparando componentes:
(4,-2,5)\overset{?}{=}k(1,2,-5).
Da primeira componente obtemos k=4. Usando a segunda componente teríamos -2 \overset{?}{=}4\cdot 2 =8, o que não é verdade. Logo não existe k que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente.
Conclusão: os vetores diretores não são proporcionais, portanto as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 5

Como não são paralelas, restam duas possibilidades: concorrem (intersectam) ou são reversas (skew, não se intersectam e não são paralelas). Para decidir, procuramos solução para os parâmetros \lambda e t que faça as coordenadas iguais, isto é, resolver o sistema
\begin{cases} 1+4\lambda = 5+t,\\[4pt] -3-2\lambda = -3+2t,\\[4pt] 5\lambda = -5t. \end{cases}
Explicando: duas retas intersectam se houver parâmetros que produzam o mesmo ponto em ambas.]

Passo 6

Resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação:
-3-2\lambda = -3+2t \quad\Rightarrow\quad -2\lambda = 2t \quad\Rightarrow\quad t=-\lambda.
Da terceira equação:
5\lambda = -5t \quad\Rightarrow\quad \lambda = -t.
As duas relações são equivalentes e consistentes (ambas implicam t=-\lambda), então ainda é possível haver solução. Substituindo t=-\lambda na primeira equação:
1+4\lambda = 5 + t = 5 -\lambda.
Isolando \lambda:
1+4\lambda = 5 -\lambda \quad\Rightarrow\quad 5\lambda = 4 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \dfrac{4}{5}.
Então t = -\dfrac{4}{5}.

Passo 7

Verificar o ponto de interseção calculando as coordenadas com \lambda=\dfrac{4}{5} (ou com t=-\dfrac{4}{5}):
  • Usando s: x=1+4\lambda = 1+4\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{21}{5}.
  • Usando s: y=-3-2\lambda = -3-2\cdot\dfrac{4}{5} = -\dfrac{23}{5}.
  • Usando s: z=5\lambda = 5\cdot\dfrac{4}{5} = 4.
Confirmando com r e t=-\dfrac{4}{5}:
  • x=5+t = 5-\dfrac{4}{5} = \dfrac{21}{5}.
  • y=-3+2t = -3+2\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{23}{5}.
  • z=-5t = -5\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right) = 4.
As coordenadas coincidem, então existe um ponto comum \left(\dfrac{21}{5},-\dfrac{23}{5},4\right). Portanto as retas se intersectam em um ponto.

Passo 8

Interpretação final: as retas não são paralelas (nem coincidentes) e têm um ponto em comum, logo são concorrentes (ou seja, intersectam-se em um único ponto). A opção correta é a letra b.

Resposta

b. Concorrentes

Exercícios relacionados