Questão 3
Quando duas retas r e s estão no espaço, pode existir um ponto de interseção entre elas. Dessa forma, indique o ponto de interseção entre as retas r e s a seguir:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d. (-2, -5, -7)
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d. (-2, -5, -7)
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no espaço e pede o ponto de interseção entre elas. Dados fornecidos:
- Reta
na forma simétrica:
- Reta
como sistema de equações:
O que se pede: identificar o ponto (se existir) que pertence simultaneamente a
e a
, entre as alternativas fornecidas.
Passo 2
Primeiro passo natural: colocar cada reta em forma parametrizada (usar um parâmetro para cada reta). Para
, defino o parâmetro
pela igualdade comum:
A partir disso obtenho as coordenadas de
em função de
:
Expliquei: cada expressão é só multiplicar ambos os lados por denom. e isolar a variável.
Passo 3
Para
já temos
e
em função de
. É conveniente usar
como parâmetro, chame-o de
. Então a parametrização de
é:
Ou seja, qualquer ponto de
tem coordenadas
.
Passo 4
Um ponto pertence às duas retas se existir
tal que as coordenadas coincidam. Igualando componente a componente:
Esse é o sistema em
e
que devemos resolver. Vou resolver passo a passo.
Passo 5
Da primeira equação isolo
:
Substituirei essa expressão nas outras duas equações para eliminar
.
Passo 6
Substituindo
na segunda equação
:
Calculo o lado direito passo a passo:
Então a equação fica
Reunindo termos com
:
Logo
Passo 7
Com
volto para
:
Até aqui temos
e
. Agora é importante verificar a terceira equação para confirmar se estes valores satisfazem todas as igualdades (se não satisfizerem, não há interseção).
Passo 8
Verificação na terceira equação: à esquerda, usando
,
À direita, usando
,
Comparando:
Esses dois valores são diferentes (claramente
). Portanto os valores de
e
obtidos a partir das duas primeiras equações NÃO satisfazem a terceira. Isso implica que não existe par
que satisfaça as três equações ao mesmo tempo — ou seja, as retas não se intersectam (são reversas / “skew”) no espaço.
Passo 9
Para ficar 100% seguro e checar as alternativas, podemos testar rapidamente cada ponto das opções para ver se pertence a ambas as retas.
- Alternativa (c)
pertence à reta com (verificação direta nas fórmulas de ), e também tem e compatíveis com quando , porém o dessa alternativa não coincide com calculado para . Assim mesmo a (c) não está em . As outras alternativas também falham em pelo menos uma coordenada quando testadas em e . Conclusão: nenhuma das alternativas é ponto comum às duas retas.
Resposta
Nenhuma das alternativas.