Questão 3

Quando duas retas r e s estão no espaço, pode existir um ponto de interseção entre elas. Dessa forma, indique o ponto de interseção entre as retas r e s a seguir:
s: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{4}
r:\left\{\begin{array}{l}y=3 x+1 \\\ z=2 x+5\end{array}\right.
◯ a. (-1,2,7)
◯ b. (-1 / 7,-2 / 7,-3 / 7)
◯ c. (-5 / 7,-8 / 7,-3 / 7)
◯ d. (-2, -5, -7)
◯ e. (2 / 5,3 / 5,7 / 5)

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço e pede o ponto de interseção entre elas. Dados fornecidos:
  • Reta s na forma simétrica:
\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{4}.
  • Reta r como sistema de equações:
y=3x+1
z=2x+5.
O que se pede: identificar o ponto (se existir) que pertence simultaneamente a r e a s, entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo natural: colocar cada reta em forma parametrizada (usar um parâmetro para cada reta). Para s, defino o parâmetro \,t pela igualdade comum:
\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-3}{4}=t.
A partir disso obtenho as coordenadas de s em função de t:
x = 1 + 2t,
y = -2 - t,
z = 3 + 4t.
Expliquei: cada expressão é só multiplicar ambos os lados por denom. e isolar a variável.

Passo 3

Para r já temos y e z em função de x. É conveniente usar x como parâmetro, chame-o de u. Então a parametrização de r é:
x = u,
y = 3u + 1,
z = 2u + 5.
Ou seja, qualquer ponto de r tem coordenadas (u,\,3u+1,\,2u+5).

Passo 4

Um ponto pertence às duas retas se existir (t,u) tal que as coordenadas coincidam. Igualando componente a componente:
1 + 2t = u,
-2 - t = 3u + 1,
3 + 4t = 2u + 5.
Esse é o sistema em t e u que devemos resolver. Vou resolver passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação isolo u:
u = 1 + 2t.
Substituirei essa expressão nas outras duas equações para eliminar u.

Passo 6

Substituindo u=1+2t na segunda equação -2-t=3u+1:
-2 - t = 3(1 + 2t) + 1.
Calculo o lado direito passo a passo:
3(1+2t)+1 = 3 + 6t + 1 = 4 + 6t.
Então a equação fica
-2 - t = 4 + 6t.
Reunindo termos com t:
- t - 6t = 4 + 2 \quad\Rightarrow\quad -7t = 6.
Logo
t = -\frac{6}{7}.

Passo 7

Com t = -\dfrac{6}{7} volto para u = 1 + 2t:
u = 1 + 2\!\left(-\frac{6}{7}\right) = 1 - \frac{12}{7} = \frac{7-12}{7} = -\frac{5}{7}.
Até aqui temos t=-\dfrac{6}{7} e u=-\dfrac{5}{7}. Agora é importante verificar a terceira equação para confirmar se estes valores satisfazem todas as igualdades (se não satisfizerem, não há interseção).

Passo 8

Verificação na terceira equação: à esquerda, usando t,
3 + 4t = 3 + 4\!\left(-\frac{6}{7}\right) = 3 - \frac{24}{7} = \frac{21-24}{7} = -\frac{3}{7}.
À direita, usando u,
2u + 5 = 2\!\left(-\frac{5}{7}\right) + 5 = -\frac{10}{7} + \frac{35}{7} = \frac{25}{7}.
Comparando:
3 + 4t = -\frac{3}{7}\quad\text{e}\quad 2u+5 = \frac{25}{7}.
Esses dois valores são diferentes (claramente -\tfrac{3}{7}\neq \tfrac{25}{7}). Portanto os valores de t e u obtidos a partir das duas primeiras equações NÃO satisfazem a terceira. Isso implica que não existe par (t,u) que satisfaça as três equações ao mesmo tempo — ou seja, as retas não se intersectam (são reversas / “skew”) no espaço.

Passo 9

Para ficar 100% seguro e checar as alternativas, podemos testar rapidamente cada ponto das opções para ver se pertence a ambas as retas.
  • Alternativa (c) \left(-\dfrac{5}{7},-\dfrac{8}{7},-\dfrac{3}{7}\right) pertence à reta s com t=-\dfrac{6}{7} (verificação direta nas fórmulas de s), e também tem x e y compatíveis com r quando u=-\dfrac{5}{7}, porém o z dessa alternativa não coincide com z=2u+5 calculado para r. Assim mesmo a (c) não está em r. As outras alternativas também falham em pelo menos uma coordenada quando testadas em s e r. Conclusão: nenhuma das alternativas é ponto comum às duas retas.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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