Considere os seguintes modelos de sobrevivência Weibul:
i)
e
ii)
e
Encontre para cada distribuição:
a) O tempo mediano e o tempo médio.
b) A função de sobrevivência.
c) O risco e o risco acumulado.
i)
ii)
a) O tempo mediano e o tempo médio.
b) A função de sobrevivência.
c) O risco e o risco acumulado.
Passo 1
O enunciado dá dois modelos Weibull com parâmetros escala
e forma
:
- Modelo i:
, . - Modelo ii:
, .
As perguntas para cada modelo são:
a) Encontrar o tempo mediano e o tempo médio.
b) Escrever a função de sobrevivência.
c) Escrever o risco (hazard) e o risco acumulado (cumulative hazard).
a) Encontrar o tempo mediano e o tempo médio.
b) Escrever a função de sobrevivência.
c) Escrever o risco (hazard) e o risco acumulado (cumulative hazard).
Passo 2
Antes de resolver: vou lembrar a formulação do Weibull que vou usar (essa é uma parametrização padrão).
-
é a variável de tempo de vida (ou tempo até o evento), com . -
é o parâmetro de escala (controla a “unidade” do tempo). -
é o parâmetro de forma (shape), que dita se o risco cresce, decresce ou é constante com o tempo.
As fórmulas que usamos (todas válidas para
) são:
Explicando cada uma:
-
é a densidade de probabilidade: probabilidade instantânea por unidade de tempo. -
é a função de sobrevivência: . -
é o risco instantâneo (hazard): taxa instantânea de ocorrência do evento dado sobrevivência até . -
é o risco acumulado até ; note .
Passo 3
Fórmulas úteis para mediana e média (que usarei depois):
- A mediana
satisfaz . Resolvendo dá
Mostro a dedução rápida:
Passo 4
- A média (esperança) do Weibull é
onde
é a função Gama. Lembrete sobre
:
-
para inteiro . -
. -
.
Vou usar esses valores concretos quando aparecerem.
Passo 5
Agora também destaco as formas específicas de
(já citadas) que vou aplicar:
Interpretação rápida: se
o risco decresce com
; se
o risco é constante (exponencial); se
o risco cresce com
.
Passo 6
- Mediana:
Calculemos numericamente:
, então
.
- Média:
Logo
.
- Função de sobrevivência:
- Risco (hazard) e risco acumulado:
Observação interpretativa: como
, o risco decresce com o tempo — começa alto e vai caindo.
Passo 7
- Mediana:
Numericamente:
então
.
- Média:
Usando
temos
- Função de sobrevivência:
- Risco e risco acumulado:
Observação interpretativa:
implica risco crescente com o tempo; aqui o risco é linear em
(
).
Passo 8
Recap rápido e ânimo: fizemos passo a passo usando as fórmulas padrão do Weibull, calculei as quantidades analiticamente e dei aproximações numéricas. Se quiser, dá pra montar uma tabela com valores numéricos de
ou
em tempos específicos para praticar antes da prova — me pede que eu monto rápido pra você.
Resposta
i) a) tempo mediano
; tempo médio
.
i) b) .
i) c) ,
.
i) b)
i) c)
ii) a) tempo mediano
; tempo médio
.
ii) b) .
ii) c) ,
.
ii) b)
ii) c)