Considere os seguintes modelos de sobrevivência Weibul:
i) \alpha=1 e \gamma=0.5
ii) \alpha=0.5 e \gamma=2
Encontre para cada distribuição:
a) O tempo mediano e o tempo médio.
b) A função de sobrevivência.
c) O risco e o risco acumulado.

Passo 1

O enunciado dá dois modelos Weibull com parâmetros escala \alpha e forma \gamma:
  • Modelo i: \alpha=1, \gamma=0,5.
  • Modelo ii: \alpha=0,5, \gamma=2.
As perguntas para cada modelo são:
a) Encontrar o tempo mediano e o tempo médio.
b) Escrever a função de sobrevivência.
c) Escrever o risco (hazard) e o risco acumulado (cumulative hazard).

Passo 2

Antes de resolver: vou lembrar a formulação do Weibull que vou usar (essa é uma parametrização padrão).
  • T é a variável de tempo de vida (ou tempo até o evento), com T\ge 0.
  • \alpha>0 é o parâmetro de escala (controla a “unidade” do tempo).
  • \gamma>0 é o parâmetro de forma (shape), que dita se o risco cresce, decresce ou é constante com o tempo.
As fórmulas que usamos (todas válidas para t\ge0) são:
f(t)=\frac{\gamma}{\alpha^{\gamma}}\,t^{\gamma-1}\,e^{-(t/\alpha)^{\gamma}}
S(t)=\exp\big(-(t/\alpha)^{\gamma}\big)
h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=\frac{\gamma}{\alpha^{\gamma}}\,t^{\gamma-1}
H(t)=-\ln S(t)=(t/\alpha)^{\gamma}
Explicando cada uma:
  • f(t) é a densidade de probabilidade: probabilidade instantânea por unidade de tempo.
  • S(t) é a função de sobrevivência: \Pr(T>t).
  • h(t) é o risco instantâneo (hazard): taxa instantânea de ocorrência do evento dado sobrevivência até t.
  • H(t) é o risco acumulado até t; note S(t)=e^{-H(t)}.

Passo 3

Fórmulas úteis para mediana e média (que usarei depois):
  • A mediana m satisfaz S(m)=1/2. Resolvendo dá
m=\alpha(\ln 2)^{1/\gamma}.
Mostro a dedução rápida: S(m)=\exp(-(m/\alpha)^\gamma)=1/2\Rightarrow (m/\alpha)^\gamma=\ln 2\Rightarrow m=\alpha(\ln 2)^{1/\gamma}.

Passo 4

  • A média (esperança) do Weibull é
\mathbb{E}[T]=\alpha\,\Gamma\Big(1+\frac{1}{\gamma}\Big),
onde \Gamma(\cdot) é a função Gama. Lembrete sobre \Gamma:
  • \Gamma(n)=(n-1)! para inteiro n\ge1.
  • \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}.
  • \Gamma(3/2)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.
    Vou usar esses valores concretos quando aparecerem.

Passo 5

Agora também destaco as formas específicas de S,h,H (já citadas) que vou aplicar:
S(t)=\exp\big(-(t/\alpha)^{\gamma}\big), \qquad h(t)=\frac{\gamma}{\alpha^{\gamma}}\,t^{\gamma-1}, \qquad H(t)=(t/\alpha)^{\gamma}.
Interpretação rápida: se \gamma<1 o risco decresce com t; se \gamma=1 o risco é constante (exponencial); se \gamma>1 o risco cresce com t.

Passo 6

  • Mediana:
m=\alpha(\ln 2)^{1/\gamma}=1\cdot(\ln 2)^{1/0{,}5}=(\ln 2)^{2}.
Calculemos numericamente: \ln 2\approx 0{,}693147, então (\ln 2)^2\approx 0{,}4809.
  • Média:
\mathbb{E}[T]=\alpha\,\Gamma\Big(1+\frac{1}{\gamma}\Big)=1\cdot\Gamma(1+2)=\Gamma(3)=2!.
Logo \mathbb{E}[T]=2.
  • Função de sobrevivência:
S(t)=\exp\big(-(t/1)^{0{,}5}\big)=\exp\big(-t^{1/2}\big)=\exp\big(-\sqrt{t}\big),\quad t\ge0.
  • Risco (hazard) e risco acumulado:
h(t)=\frac{\gamma}{\alpha^{\gamma}}\,t^{\gamma-1}=\frac{0{,}5}{1^{0{,}5}}\,t^{-1/2}=0{,}5\,t^{-1/2}=\frac{0{,}5}{\sqrt{t}},
H(t)=(t/1)^{0{,}5}=t^{1/2}=\sqrt{t}.
Observação interpretativa: como \gamma=0{,}5<1, o risco decresce com o tempo — começa alto e vai caindo.

Passo 7

  • Mediana:
m=\alpha(\ln 2)^{1/\gamma}=0{,}5\cdot(\ln 2)^{1/2}=0{,}5\sqrt{\ln 2}.
Numericamente: \sqrt{\ln 2}\approx 0{,}8325546 então m\approx 0{,}4162773.
  • Média:
\mathbb{E}[T]=\alpha\,\Gamma\Big(1+\frac{1}{\gamma}\Big)=0{,}5\cdot\Gamma\Big(1+\tfrac{1}{2}\Big)=0{,}5\cdot\Gamma\Big(\tfrac{3}{2}\Big).
Usando \Gamma(3/2)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} temos
\mathbb{E}[T]=0{,}5\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}=\frac{1}{4}\sqrt{\pi}\approx 0{,}44311346.
  • Função de sobrevivência:
S(t)=\exp\big(- (t/0{,}5)^2\big)=\exp\big(- (2t)^2\big)=\exp\big(-4t^{2}\big),\quad t\ge0.
  • Risco e risco acumulado:
h(t)=\frac{\gamma}{\alpha^{\gamma}}\,t^{\gamma-1}=\frac{2}{(0{,}5)^{2}}\,t^{1}=\frac{2}{0{,}25}\,t=8t,
H(t)=(t/0{,}5)^{2}=(2t)^{2}=4t^{2}.
Observação interpretativa: \gamma=2>1 implica risco crescente com o tempo; aqui o risco é linear em t ( h(t)=8t).

Passo 8

Recap rápido e ânimo: fizemos passo a passo usando as fórmulas padrão do Weibull, calculei as quantidades analiticamente e dei aproximações numéricas. Se quiser, dá pra montar uma tabela com valores numéricos de S(t) ou h(t) em tempos específicos para praticar antes da prova — me pede que eu monto rápido pra você.

Resposta

i) a) tempo mediano m=(\ln 2)^{2}\approx 0{,}4809; tempo médio \mathbb{E}[T]=2.
i) b) S(t)=\exp\big(-\sqrt{t}\,\big).
i) c) h(t)=0{,}5\,t^{-1/2}=\dfrac{0{,}5}{\sqrt{t}}, \;H(t)=\sqrt{t}.
ii) a) tempo mediano m=0{,}5\sqrt{\ln 2}\approx 0{,}4162773; tempo médio \mathbb{E}[T]=\dfrac{1}{4}\sqrt{\pi}\approx 0{,}4431135.
ii) b) S(t)=\exp\big(-4t^{2}\big).
ii) c) h(t)=8t, \;H(t)=4t^{2}.

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