Teste a hipótese de que os dados indicam que há qualquer diferença na capacidade de ligação da insulina média real devida ao nível de dosagem e informe o valor-p.
H_{0}: \mu_{A}-\mu_{B}=0 vs H_{1}: \mu_{A}-\mu_{B} \neq 0
H_{0}: \mu_{A}-\mu_{B}=0 vs H_{1}: \mu_{A}-\mu_{B}=0
H_{0}: \mu_{A}-\mu_{B}=0 vs H_{1}: \mu_{A}-\mu_{B}>0
H_{0}: \mu_{A}-\mu_{B}=0 vs H_{1}: \mu_{A}-\mu_{B}<0
H_{0}: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}=0 vs H_{1}: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B} \neq 0
H_{0}: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}=0 vs H_{1}: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}>0
H_{0}: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}=0 vs H_{1}: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}<0
valor-p: □

Passo 1

O enunciado pede para testar se os dados indicam qualquer diferença na capacidade média de ligação da insulina devido ao nível de dosagem e me dá uma lista de alternativas de hipóteses para escolher. As perguntas que o enunciado faz são: (a) qual é a formulação correta das hipóteses para “qualquer diferença” entre os grupos A e B? e (b) qual é o valor-p associado ao teste? \n\nInformações explicitamente fornecidas no enunciado: a lista de alternativas de hipóteses (sete opções). \n\nInformações que NÃO foram fornecidas (e que seriam necessárias para calcular o valor-p numérico): n_A,\;n_B (tamanhos das amostras), \bar{x}_A,\;\bar{x}_B (médias amostrais), s_A,\;s_B ou as variâncias amostrais, e se as observações são pareadas ou independentes. Sem esses números não dá para calcular um valor-p numérico.

Passo 2

Qual hipótese escolher? “Qualquer diferença” significa que estamos interessados em detectar se as médias populacionais são diferentes em qualquer direção (mais alto ou mais baixo). Isso corresponde a um teste bilateral (two-sided) sobre as médias populacionais. Portanto a formulação correta é:
H_{0}:\mu_{A}-\mu_{B}=0\quad\text{vs}\quad H_{1}:\mu_{A}-\mu_{B}\neq 0.
Explicação curta e amigável: usamos \mu porque queremos inferir sobre as médias da população (não só as médias amostrais). O sinal “ \neq” indica diferença em qualquer direção — é exatamente “qualquer diferença”.

Passo 3

Qual teste aplicar e por quê? Para duas amostras independentes de médias, o teste mais comum é o teste t de duas amostras. Existem duas versões:
  • versão “poolada” (assume variâncias populacionais iguais),
  • versão de Welch (não assume variâncias iguais) — é a opção mais segura quando não sabemos se as variâncias são iguais. \n\nVou explicar a versão de Welch (mais geral) porque é a que você deve usar na prova quando não der informação sobre variâncias.

Passo 4

Fórmulas e significado dos termos (aula rápida e prática): \n\n1) Estatística de teste (t de Welch):
t=\frac{\bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}}{\sqrt{\dfrac{s_{A}^{2}}{n_{A}}+\dfrac{s_{B}^{2}}{n_{B}}}}.
Onde:
  • \bar{x}_{A} é a média amostral do grupo A;
  • \bar{x}_{B} é a média amostral do grupo B;
  • s_{A}^{2} é a variância amostral do grupo A (i.e., s_A é o desvio padrão amostral);
  • s_{B}^{2} é a variância amostral do grupo B;
  • n_{A}, n_{B} são os tamanhos das amostras. \n\n2) Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite):
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_{A}^{2}}{n_{A}}+\dfrac{s_{B}^{2}}{n_{B}}\right)^{2}}{\dfrac{\left(\dfrac{s_{A}^{2}}{n_{A}}\right)^{2}}{n_{A}-1}+\dfrac{\left(\dfrac{s_{B}^{2}}{n_{B}}\right)^{2}}{n_{B}-1}}.
Esse \nu normalmente não é inteiro; na prática você arredonda para baixo ou usa calculadora/soft para o valor exato. \n\n3) Cálculo do valor-p para o teste bilateral:
\text{valor-p} = 2\cdot P\big(T_{\nu}\ge |t|\big),
onde T_{\nu} é a distribuição t com \nu graus de liberdade. Em palavras: você calcula o t observad o, obtém a probabilidade de observar um t maior ou igual ao módulo desse valor sob a t-distribution com \nu, e multiplica por 2 porque o teste é bilateral.

Passo 5

Como fazer passo a passo na prova (receita prática, “faça assim”): \n\n1) Calcule \bar{x}_{A} e \bar{x}_{B} a partir dos dados. \n2) Calcule s_{A}^{2} e s_{B}^{2} (variâncias amostrais: fórmula \displaystyle s^2=\frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2). \n3) Calcule o erro padrão combinado: \displaystyle SE=\sqrt{\frac{s_{A}^{2}}{n_{A}}+\frac{s_{B}^{2}}{n_{B}}}. \n4) Calcule t=\dfrac{\bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}}{SE}. \n5) Calcule os graus de liberdade \nu pela fórmula de Welch acima. \n6) Usando uma tabela t ou calculadora, encontre P(T_{\nu}\ge |t|) e multiplique por 2 para obter o valor-p. \n7) Compare o valor-p com o nível de significância (por exemplo, \alpha=0{,}05). Se valor-p \le \alpha, rejeita-se H_0; caso contrário, não se rejeita H_0. \n\nDica prática sem calculadora: se estiver usando tabela t, encontre em qual intervalo de valores críticos |t| cai para um certo \nu e assim obtenha um intervalo para o valor-p (por exemplo, se |t| está entre t_{0{,}025,\nu} e t_{0{,}01,\nu}, então 0{,}02<\text{valor-p}<0{,}05, etc.).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (hipotético): suponha n_{A}=10,\;n_{B}=12,\;\bar{x}_{A}=8{,}5,\;\bar{x}_{B}=7{,}1,\;s_{A}=1{,}2,\;s_{B}=1{,}4. \n\n1) Diferença de médias: \bar{x}_{A}-\bar{x}_{B}=8{,}5-7{,}1=1{,}4. \n2) Erro padrão: SE=\sqrt{\dfrac{1{,}2^{2}}{10}+\dfrac{1{,}4^{2}}{12}} =\sqrt{\dfrac{1{,}44}{10}+\dfrac{1{,}96}{12}} =\sqrt{0{,}144+0{,}1633}= \sqrt{0{,}3073}\approx0{,}554.\n3) Estatística t: t=\dfrac{1{,}4}{0{,}554}\approx2{,}53.\n4) Graus de liberdade aproximados (calcule com a fórmula de Welch — aqui eu pularei a conta detalhada por questão de espaço, mas em prova você faria): suponha que resulte \nu\approx19. \n5) Valor-p bilateral aproximado: com t\approx2{,}53 e \nu\approx19, olhando na tabela t vemos que t_{0{,}01,19}\approx2{,}539 e t_{0{,}02,19} está ligeiramente menor — então o valor-p está perto de 0{,}02. Assim, valor-p \approx0{,}02. Isso é só um exemplo para mostrar como proceder; NÃO use estes números para o seu caso real a menos que sejam seus dados.

Passo 7

Conclusão sobre o seu enunciado específico: a formulação correta das hipóteses é a primeira opção (teste bilateral sobre as médias populacionais). Porém, não é possível informar um valor-p numérico a partir do enunciado que você me deu porque faltam os dados amostrais ( n_A,\;n_B,\;\bar{x}_A,\;\bar{x}_B,\;s_A,\;s_B). Se você tem esses números, é só aplicarmos a receita do Passo 5 e eu calculo o valor-p pra você.

Resposta

H_{0}:\mu_{A}-\mu_{B}=0 vs H_{1}:\mu_{A}-\mu_{B}\neq 0\n
valor-p: não é possível calcular sem os dados amostrais ( n_{A},n_{B},\bar{x}_{A},\bar{x}_{B},s_{A},s_{B}).

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