e pergunta qual é o valor esperado (média) \mu_{X} da variável aleatória X.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Suporte de }X: \; 1 \leq x \leq 5.\\\ &\text{Densidade em }[1,5]: \; f(x)=\frac{1}{8}(5-x).\\\ &\text{Fora do suporte }f(x)=0. \end{aligned}]
Passo 2
Relembrando a definição: para uma variável aleatória contínua X com densidade f(x), o valor esperado (média) é dado por
\mu_X=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui, como f(x)=0 fora de [1,5], a integral efetiva é sobre [1,5]. Portanto
\mu_X=\int_{1}^{5} x\cdot \frac{1}{8}(5-x)\,dx.
Vou resolver essa integral passo a passo. Antes, é útil verificar que f é realmente uma densidade (ou seja, integra 1).
Passo 3
Verificação de normalização: calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. Como só há contribuição em [1,5],
Interpretação final: a média da variável X é \frac{7}{3}, que numericamente é aproximadamente 2{,}333. Isso faz sentido porque o suporte vai de 1 a 5 e a densidade é decrescente, puxando a média um pouco abaixo do ponto médio (1+5)/2=3.