A função densidade de probabilidade de probabilidade (ou distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória X é
0,5
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{8}(5-x), & 1 \leq x \leq 5 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.á
O valor esperado (ou média) da variável aleatória é \mu_{X}=

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{8}(5-x), & 1 \leq x \leq 5,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário} \end{array}\right.á
e pergunta qual é o valor esperado (média) \mu_{X} da variável aleatória X.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Suporte de }X: \; 1 \leq x \leq 5.\\\ &\text{Densidade em }[1,5]: \; f(x)=\frac{1}{8}(5-x).\\\ &\text{Fora do suporte }f(x)=0. \end{aligned}]

Passo 2

Relembrando a definição: para uma variável aleatória contínua X com densidade f(x), o valor esperado (média) é dado por
\mu_X=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui, como f(x)=0 fora de [1,5], a integral efetiva é sobre [1,5]. Portanto
\mu_X=\int_{1}^{5} x\cdot \frac{1}{8}(5-x)\,dx.
Vou resolver essa integral passo a passo. Antes, é útil verificar que f é realmente uma densidade (ou seja, integra 1).

Passo 3

Verificação de normalização: calcular \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx. Como só há contribuição em [1,5],
\int_{1}^{5} \frac{1}{8}(5-x)\,dx = \frac{1}{8}\int_{1}^{5}(5-x)\,dx.
Calcule a integral interna:
\int(5-x)\,dx = 5x - \frac{x^{2}}{2}.
Avalia nos limites:
\left[5x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{5} = \left(5\cdot5-\frac{5^{2}}{2}\right)-\left(5\cdot1-\frac{1^{2}}{2}\right) = \left(25-\frac{25}{2}\right)-\left(5-\frac{1}{2}\right).
Calcule cada termo:
25-\frac{25}{2}=\frac{50-25}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5,
5-\frac{1}{2}=\frac{10-1}{2}=\frac{9}{2}=4{,}5.
Diferença:
12{,}5-4{,}5=8.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{8} 1. Logo f é uma densidade válida.

Passo 4

Voltemos à média. Montamos a integral de \mu_X:
\mu_X = \frac{1}{8}\int_{1}^{5} x(5-x)\,dx.
Expanda o integrando para facilitar a integração:
x(5-x)=5x-x^{2}.
Então
\mu_X = \frac{1}{8}\int_{1}^{5} (5x - x^{2})\,dx.

Passo 5

Calcule a primitiva de 5x - x^{2}:
\int(5x - x^{2})\,dx = \frac{5}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3}.
Avalie entre 1 e 5:
\left[\frac{5}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3}\right]_{1}^{5} = \left(\frac{5}{2}\cdot 5^{2} - \frac{1}{3}\cdot 5^{3}\right) - \left(\frac{5}{2}\cdot 1^{2} - \frac{1}{3}\cdot 1^{3}\right).
Calcule os termos:
\frac{5}{2}\cdot 5^{2}=\frac{5}{2}\cdot 25=\frac{125}{2}, \quad \frac{1}{3}\cdot 5^{3}=\frac{125}{3},
logo o primeiro parêntese é
\frac{125}{2}-\frac{125}{3}=125\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=125\cdot\frac{1}{6}=\frac{125}{6}.
O segundo parêntese é
\frac{5}{2}-\frac{1}{3}=\frac{15-2}{6}=\frac{13}{6}.
A diferença é
\frac{125}{6}-\frac{13}{6}=\frac{112}{6}=\frac{56}{3}.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{8} da frente:
\mu_X = \frac{1}{8}\cdot\frac{56}{3}=\frac{56}{24}=\frac{7}{3}.

Passo 6

Interpretação final: a média da variável X é \frac{7}{3}, que numericamente é aproximadamente 2{,}333. Isso faz sentido porque o suporte vai de 1 a 5 e a densidade é decrescente, puxando a média um pouco abaixo do ponto médio (1+5)/2=3.

Resposta

\mu_{X}=\frac{7}{3}

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