Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -15 \\\\ 9 \\\\ 6 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 7 \\\\ -3 \\\\ -1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 1 \\\\ -3 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -3 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -13
(B) -12
(C) -11
(D) -10
(E) -9
(F) -8
(G) -7
(H) -6

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Os dois planos em \mathbb{R}^4 são dados em forma paramétrica (peguei estes vetores do enunciado):
    • Primeiro plano: \mathbf{p}(s,t)=\begin{bmatrix}-15\\[4pt]9\\[4pt]6\\[4pt]-4\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{bmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.
    • Segundo plano: \mathbf{q}(u,v)=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{bmatrix} +u\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{bmatrix} +v\begin{bmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-3\end{bmatrix}, \quad u,v\in\mathbb{R}.
  • O enunciado pede o ponto de interseção desses dois planos e, em particular, o valor da primeira coordenada x_{1} desse ponto. Há uma única resposta correta entre as opções listadas.]

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para encontrar a interseção eu preciso encontrar parâmetros s,t,u,v tais que
\mathbf{p}(s,t)=\mathbf{q}(u,v).
Isto gera um sistema de 4 equações lineares (uma por coordenada) em 4 incógnitas s,t,u,v. Vou montar essas equações coordenada a coordenada e resolver o sistema por eliminação clássica. Essa é uma forma direta e prática para problemas parametrizados em \mathbb{R}^n.

Passo 3

Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada: igualando \mathbf{p}(s,t) e \mathbf{q}(u,v) obtemos
  • primeira coordenada:
-15+3s+3t=-3+2u-2v,
  • segunda coordenada:
9-s+2t=7+u+2v,
  • terceira coordenada:
6-3t=-3-3u+3v,
  • quarta coordenada:
-4-s-t=-1+u-3v.
Agora vou rearranjar cada equação para ter uma forma linear padrão em s,t,u,v.

Passo 4

Reescrever as equações em forma linear (todas em \mathbb{R}):
Da primeira equação:
3s+3t-2u+2v=12. \tag{1}
Da segunda equação:
-s+2t-u-2v=-2. \tag{2}
Da terceira equação:
-t+u-v=-3. \tag{3}
Da quarta equação:
-s-t-u+3v=3. \tag{4}
Agora vou usar (3) para isolar u em função de t e v, porque (3) é simples.
Da (3):
-t+u-v=-3 \quad\Rightarrow\quad u=-3+t+v. \tag{5}

Passo 5

Substituo a expressão de u dada em (5) nas equações (1),(2),(4).
Substituindo em (1):
3s+3t-2(-3+t+v)+2v=12.
Calcular o termo -2(-3+t+v)=6-2t-2v. Assim
3s+3t+6-2t-2v+2v=12 \quad\Rightarrow\quad 3s+t+6=12,
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3s+t=6. \tag{1a}
Substituindo em (2):
-s+2t-(-3+t+v)-2v=-2.
Calcular -(-3+t+v)=3-t-v. Assim
-s+2t+3-t-v-2v=-2 \quad\Rightarrow\quad -s+t+3-3v=-2,
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-s+t-3v=-5. \tag{2a}
Substituindo em (4):
-s-t-(-3+t+v)+3v=3.
Calcular -(-3+t+v)=3-t-v. Então
-s-t+3-t-v+3v=3 \quad\Rightarrow\quad -s-2t+2v+3=3,
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-s-2t+2v=0. \tag{4a}
Agora temos o sistema em s,t,v:
\begin{cases} 3s+t=6, &(1a)\\[4pt] -s+t-3v=-5, &(2a)\\[4pt] -s-2t+2v=0. &(4a) \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema reduzido. Da (1a) isolo t:
t=6-3s. \tag{6}
Substituo (6) em (2a) e (4a).
Em (2a):
-s+(6-3s)-3v=-5 \quad\Rightarrow\quad -4s-3v+6=-5,
portanto
-4s-3v=-11. \tag{A}
Em (4a):
-s-2(6-3s)+2v=0 \quad\Rightarrow\quad -s-12+6s+2v=0,
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5s+2v=12. \tag{B}
Agora resolvo o sistema (A),(B) em s,v.
Da (B):
2v=12-5s \quad\Rightarrow\quad v=6-\tfrac{5}{2}s. \tag{7}
Substituindo (7) em (A):
-4s-3\Bigl(6-\tfrac{5}{2}s\Bigr)=-11.
Calcular o lado esquerdo:
-4s-18+\tfrac{15}{2}s=-11.
Combine os termos em s: -4s+\tfrac{15}{2}s=\tfrac{7}{2}s. Assim
\tfrac{7}{2}s-18=-11 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{7}{2}s=7 \quad\Rightarrow\quad s=2.
Com s=2, da (7):
v=6-\tfrac{5}{2}\cdot 2=6-5=1.
E com s=2, da (6):
t=6-3\cdot 2=0.
Finalmente, usando (5) para u:
u=-3+t+v=-3+0+1=-2.
Resumo dos parâmetros encontrados:
s=2,\quad t=0,\quad u=-2,\quad v=1.

Passo 7

Calcular o ponto de interseção usando \mathbf{p}(s,t) (ou \mathbf{q}(u,v), devem coincidir). Usando \mathbf{p}(s,t):
\mathbf{p}(2,0)=\begin{bmatrix}-15\\[4pt]9\\[4pt]6\\[4pt]-4\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{bmatrix} +0\begin{bmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{bmatrix}.
Calculemos cada coordenada:
2\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\[4pt]-2\\[4pt]0\\[4pt]-2\end{bmatrix},
portanto
\mathbf{p}(2,0)=\begin{bmatrix}-15+6\\[4pt]9-2\\[4pt]6+0\\[4pt]-4-2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-9\\[4pt]7\\[4pt]6\\[4pt]-6\end{bmatrix}.
Como verificação rápida, poderia substituir u=-2,v=1 em \mathbf{q}(u,v) e obteria o mesmo vetor (é sempre bom checar).]

Passo 8

Concluindo: o ponto de interseção é \bigl(-9,\,7,\,6,\,-6\bigr). A primeira coordenada é x_{1}=-9.

Resposta

(E) -9

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