Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -13
(B) -12
(C) -11
(D) -10
(E) -9
(F) -8
(G) -7
(H) -6
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
Os dois planos em \mathbb{R}^4 são dados em forma paramétrica (peguei estes vetores do enunciado):
Primeiro plano:\mathbf{p}(s,t)=\begin{bmatrix}-15\\[4pt]9\\[4pt]6\\[4pt]-4\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{bmatrix}, \quad s,t\in\mathbb{R}.
Segundo plano:\mathbf{q}(u,v)=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]7\\[4pt]-3\\[4pt]-1\end{bmatrix} +u\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{bmatrix} +v\begin{bmatrix}-2\\[4pt]2\\[4pt]3\\[4pt]-3\end{bmatrix}, \quad u,v\in\mathbb{R}.
O enunciado pede o ponto de interseção desses dois planos e, em particular, o valor da primeira coordenada x_{1} desse ponto. Há uma única resposta correta entre as opções listadas.]
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para encontrar a interseção eu preciso encontrar parâmetros s,t,u,v tais que
\mathbf{p}(s,t)=\mathbf{q}(u,v).
Isto gera um sistema de 4 equações lineares (uma por coordenada) em 4 incógnitas s,t,u,v. Vou montar essas equações coordenada a coordenada e resolver o sistema por eliminação clássica. Essa é uma forma direta e prática para problemas parametrizados em \mathbb{R}^n.
Passo 3
Escrevendo a igualdade coordenada a coordenada: igualando \mathbf{p}(s,t) e \mathbf{q}(u,v) obtemos
primeira coordenada:
-15+3s+3t=-3+2u-2v,
segunda coordenada:
9-s+2t=7+u+2v,
terceira coordenada:
6-3t=-3-3u+3v,
quarta coordenada:
-4-s-t=-1+u-3v.
Agora vou rearranjar cada equação para ter uma forma linear padrão em s,t,u,v.
Passo 4
Reescrever as equações em forma linear (todas em \mathbb{R}):
Da primeira equação:
3s+3t-2u+2v=12. \tag{1}
Da segunda equação:
-s+2t-u-2v=-2. \tag{2}
Da terceira equação:
-t+u-v=-3. \tag{3}
Da quarta equação:
-s-t-u+3v=3. \tag{4}
Agora vou usar (3) para isolar u em função de t e v, porque (3) é simples.
Da (3):
-t+u-v=-3 \quad\Rightarrow\quad u=-3+t+v. \tag{5}
Passo 5
Substituo a expressão de u dada em (5) nas equações (1),(2),(4).