Q6: A equação do círculo com centro em (
) e raio
é dada por:
. Abrindo a expressão, obtemos:
onde
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (
) para valores fixos de
e
, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de
e
, podemos determinar o raio do círculo através das relações (
).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 9.3
(B) 10.3
(C) 11.3
(D) 12.3
(E) 13.3
(F) 14.3
(G) 15.3
(H) 16.3
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 9.3
(B) 10.3
(C) 11.3
(D) 12.3
(E) 13.3
(F) 14.3
(G) 15.3
(H) 16.3
Passo 1
O enunciado dá três pontos pelos quais passa o círculo e pede o centro e o raio do círculo, escolhendo entre opções numéricas para o raio. Informações fornecidas (os pontos):
O que é pedido:
- Determinar o centro
do círculo que passa por esses três pontos. - Determinar o raio
desse círculo. - Dentre as opções fornecidas, indicar qual valor é o mais próximo do raio encontrado.
Passo 2
Recordando a forma usada no enunciado: a equação do círculo é, ao expandir,
onde
,
e
.
Como os três pontos pertencem ao círculo, cada um satisfaz a equação acima. Vamos substituir cada ponto na equação para obter três equações lineares em
.
Substituindo
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Passo 3
Para eliminar
e obter um sistema só em
e
, igualamos as expressões que dão
. Igualando as duas primeiras:
Reorganizando:
ou seja
Agora igualando a primeira e a terceira:
Reorganizando:
ou seja
Assim temos o sistema linear em
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Uma maneira simples é eliminar
. Multiplicando a primeira equação por
:
Subtraindo a segunda equação
dessa:
Substituindo
em
:
Portanto
Passo 5
Agora obtemos
substituindo em qualquer uma das equações que dão
. Usando
:
Confirmando com a primeira:
. Tudo coerente.
Passo 6
Relembrando as relações entre
e o centro
:
Logo
Assim o centro é
.
Passo 7
Para o raio usamos a relação
portanto
Calculando
:
Então
Logo
Passo 8
Vamos aproximar a raiz quadrada sem calculadora de alta precisão, observando quadrados conhecidos:
Como
está entre
e
, temos
A opção da lista mais próxima é
, que corresponde à alternativa (H).
Resposta
(H)