Q6: A equação do círculo com centro em ( x_{0}, y_{0} ) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por três pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação ( * ) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações ( * * ).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (5,2),(3,-1) e (1,-3).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 9.3
(B) 10.3
(C) 11.3
(D) 12.3
(E) 13.3
(F) 14.3
(G) 15.3
(H) 16.3

Passo 1

O enunciado dá três pontos pelos quais passa o círculo e pede o centro e o raio do círculo, escolhendo entre opções numéricas para o raio. Informações fornecidas (os pontos):
  • (5,2)
  • (3,-1)
  • (1,-3)
O que é pedido:
  • Determinar o centro (x_{0},y_{0}) do círculo que passa por esses três pontos.
  • Determinar o raio r desse círculo.
  • Dentre as opções fornecidas, indicar qual valor é o mais próximo do raio encontrado.

Passo 2

Recordando a forma usada no enunciado: a equação do círculo é, ao expandir,
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
onde a=-2x_{0}, b=-2y_{0} e c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Como os três pontos pertencem ao círculo, cada um satisfaz a equação acima. Vamos substituir cada ponto na equação para obter três equações lineares em a,b,c.
Substituindo (5,2):
5^{2}+a\cdot5+2^{2}+b\cdot2=c \quad\Rightarrow\quad 29+5a+2b=c.
Substituindo (3,-1):
3^{2}+a\cdot3+(-1)^{2}+b\cdot(-1)=c \quad\Rightarrow\quad 10+3a-b=c.
Substituindo (1,-3):
1^{2}+a\cdot1+(-3)^{2}+b\cdot(-3)=c \quad\Rightarrow\quad 10+a-3b=c.

Passo 3

Para eliminar c e obter um sistema só em a e b, igualamos as expressões que dão c. Igualando as duas primeiras:
29+5a+2b=10+3a-b.
Reorganizando:
29-10 +5a-3a +2b +b =0 \quad\Rightarrow\quad 19+2a+3b=0,
ou seja
2a+3b=-19.
Agora igualando a primeira e a terceira:
29+5a+2b=10+a-3b.
Reorganizando:
29-10 +5a-a +2b+3b =0 \quad\Rightarrow\quad 19+4a+5b=0,
ou seja
4a+5b=-19.
Assim temos o sistema linear em a,b:
\begin{cases} 2a+3b=-19,\\[4pt] 4a+5b=-19. \end{cases}]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Uma maneira simples é eliminar a. Multiplicando a primeira equação por 2:
4a+6b=-38.
Subtraindo a segunda equação 4a+5b=-19 dessa:
(4a+6b)-(4a+5b)=-38-(-19)\quad\Rightarrow\quad b=-19.
Substituindo b=-19 em 2a+3b=-19:
2a+3(-19)=-19 \quad\Rightarrow\quad 2a-57=-19 \quad\Rightarrow\quad 2a=38 \quad\Rightarrow\quad a=19.
Portanto
a=19,\quad b=-19.

Passo 5

Agora obtemos c substituindo em qualquer uma das equações que dão c. Usando 10+3a-b=c:
c=10+3\cdot19-(-19)=10+57+19=86.
Confirmando com a primeira: 29+5\cdot19+2(-19)=29+95-38=86. Tudo coerente.

Passo 6

Relembrando as relações entre a,b e o centro (x_{0},y_{0}):
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0}.
Logo
x_{0}=-\frac{a}{2}=-\frac{19}{2}=-9{,}5, \qquad y_{0}=-\frac{b}{2}=-\frac{-19}{2}=9{,}5.
Assim o centro é \bigl(-9{,}5,\;9{,}5\bigr).

Passo 7

Para o raio usamos a relação
c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2},
portanto
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Calculando x_{0}^{2}+y_{0}^{2}:
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=(-9{,}5)^{2}+(9{,}5)^{2}=2\cdot(9{,}5)^{2}=2\cdot90{,}25=180{,}5.
Então
r^{2}=86+180{,}5=266{,}5.
Logo
r=\sqrt{266{,}5}.

Passo 8

Vamos aproximar a raiz quadrada sem calculadora de alta precisão, observando quadrados conhecidos:
16^{2}=256,\qquad 16{,}3^{2}=16{,}3\cdot16{,}3=265{,}69,\qquad 16{,}33^{2}\approx266{,}6889.
Como 266{,}5 está entre 265{,}69 e 266{,}6889, temos
r\approx16{,}33\ldots
A opção da lista mais próxima é 16{,}3, que corresponde à alternativa (H).

Resposta

(H) 16,3

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