Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -17
(B) -16
(C) -15
(D) -14
(E) -13
(F) -12
(G) -11
(H) -10
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Cada plano é descrito por um ponto base mais a combinação linear de dois vetores diretores. Vou listar claramente o que nos foi dado (peguei estes vetores do enunciado):
Primeiro plano:
ponto base \displaystyle p=\begin{bmatrix}-6\\\ -1\\\ -5\\\ -1\end{bmatrix}
O que o exercício pede: encontrar o ponto de interseção \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4) dos dois planos e, em particular, o valor da entrada \displaystyle x_1. A tarefa típica é igualar uma combinação afim do primeiro plano a uma combinação afim do segundo plano e resolver para os parâmetros.
Passo 2
Montar a equação que representa o ponto comum: existe \displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
p+\alpha\,u+\beta\,v \;=\; q+\gamma\,w+\delta\,z.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá quatro equações lineares (uma por coordenada). Vou escrever essas equações explicitamente. Das coordenadas temos:
Subtraindo as equações (E) - (F) obtém-se 9\delta = 0\], logo
\[\delta = 0.\]
Substituindo em (E) dá \(\gamma = 1. Com \gamma e \delta conhecidos, volto para \beta:
Portanto os parâmetros são \displaystyle \alpha=-1,\\ \beta=2,\\ \gamma=1,\\ \delta=0.]
Passo 6
Calcular o ponto de interseção usando esses parâmetros — mais fácil calcular p+\alpha u+\beta v. Faço componente por componente (tudo exibido explicitamente):