Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} -6 \\\\ -1 \\\\ -5 \\\\ -1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -3 \\\\ -3 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -10 \\\\ -4 \\\\ -10 \\\\ -4 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -17
(B) -16
(C) -15
(D) -14
(E) -13
(F) -12
(G) -11
(H) -10

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4. Cada plano é descrito por um ponto base mais a combinação linear de dois vetores diretores. Vou listar claramente o que nos foi dado (peguei estes vetores do enunciado):
  • Primeiro plano:
    • ponto base \displaystyle p=\begin{bmatrix}-6\\\ -1\\\ -5\\\ -1\end{bmatrix}
    • vetores diretores \displaystyle u=\begin{bmatrix}2\\\ -2\\\ 2\\\ 3\end{bmatrix} e \displaystyle v=\begin{bmatrix}-2\\\ -3\\\ -3\\\ 1\end{bmatrix}
  • Segundo plano:
    • ponto base \displaystyle q=\begin{bmatrix}-10\\\ -4\\\ -10\\\ -4\end{bmatrix}
    • vetores diretores \displaystyle w=\begin{bmatrix}-2\\\ -1\\\ -3\\\ 2\end{bmatrix} e \displaystyle z=\begin{bmatrix}2\\\ 1\\\ 1\\\ 2\end{bmatrix}
O que o exercício pede: encontrar o ponto de interseção \displaystyle (x_1,x_2,x_3,x_4) dos dois planos e, em particular, o valor da entrada \displaystyle x_1. A tarefa típica é igualar uma combinação afim do primeiro plano a uma combinação afim do segundo plano e resolver para os parâmetros.

Passo 2

Montar a equação que representa o ponto comum: existe \displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
p+\alpha\,u+\beta\,v \;=\; q+\gamma\,w+\delta\,z.
Escrevendo coordenada a coordenada isso dá quatro equações lineares (uma por coordenada). Vou escrever essas equações explicitamente. Das coordenadas temos:
\begin{cases} -6 + 2\alpha -2\beta = -10 -2\gamma +2\delta,\\[4pt] -1 -2\alpha -3\beta = -4 -\gamma +\delta,\\[4pt] -5 +2\alpha -3\beta = -10 -3\gamma +\delta,\\[4pt] -1 +3\alpha +\beta = -4 +2\gamma +2\delta. \end{cases}]

Passo 3

Colocar cada equação na forma padrão (tudo à esquerda). Subtraio o lado direito para deixar zero do outro lado e simplifico:
Da primeira equação:
2\alpha -\beta +\gamma -\delta = -2.
Da segunda:
-2\alpha -3\beta +\gamma -\delta = -3.
Da terceira:
2\alpha -3\beta +3\gamma -\delta = -5.
Da quarta:
3\alpha +\beta -2\gamma -2\delta = -3.
Agora temos o sistema linear em \displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta:
\begin{cases} \alpha - \beta + \gamma - \delta = -2,\\[4pt] -2\alpha -3\beta + \gamma - \delta = -3,\\[4pt] 2\alpha -3\beta +3\gamma - \delta = -5,\\[4pt] 3\alpha +\beta -2\gamma -2\delta = -3. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema por substituição passo a passo (método direto, bom para prova sem calculadora). Da primeira equação isolo \displaystyle \alpha:
\alpha = -2 + \beta - \gamma + \delta.
Substituo essa expressão para \displaystyle \alpha nas outras três equações.
Substituição na segunda equação:
-2(-2+\beta-\gamma+\delta)-3\beta+\gamma-\delta=-3.
Calculando passo a passo: o lado esquerdo fica
4 -2\beta +2\gamma -2\delta -3\beta +\gamma -\delta = 4 -5\beta +3\gamma -3\delta.
Igualando a -3 obtemos
-5\beta +3\gamma -3\delta = -7.
Substituição na terceira equação:
2(-2+\beta-\gamma+\delta)-3\beta+3\gamma-\delta=-5.
Simplificando:
-4 +2\beta -2\gamma +2\delta -3\beta +3\gamma -\delta = -4 -\beta +\gamma +\delta.
Igualando a -5 resulta
-\beta +\gamma +\delta = -1.
Substituição na quarta equação:
3(-2+\beta-\gamma+\delta)+\beta-2\gamma-2\delta=-3.
Simplificando:
-6 +3\beta -3\gamma +3\delta +\beta -2\gamma -2\delta = -6 +4\beta -5\gamma +\delta.
Igualando a -3
4\beta -5\gamma +\delta = 3.
Agora o sistema reduzido (em \displaystyle \beta,\gamma,\delta) é:
\begin{cases} -5\beta +3\gamma -3\delta = -7,\\[4pt] -\beta +\gamma +\delta = -1,\\[4pt] 4\beta -5\gamma +\delta = 3. \end{cases}]

Passo 5

Continuo a resolver: da segunda equação do sistema reduzido isolo \displaystyle \beta\): \[\beta = \gamma + \delta + 1.
Substituo em las outras duas equações.
Substituindo na primeira reduzida:
-5(\gamma+\delta+1)+3\gamma-3\delta = -7.
Calculando:
-5\gamma -5\delta -5 +3\gamma -3\delta = -7 \quad\Rightarrow\quad -2\gamma -8\delta = -2.
Dividindo por -2:
\gamma +4\delta = 1. \tag{E}
Substituindo na terceira reduzida:
4(\gamma+\delta+1)-5\gamma+\delta = 3.
Calculando:
4\gamma +4\delta +4 -5\gamma +\delta = 3 \quad\Rightarrow\quad -\gamma +5\delta = -1.
Multiplicando por -1:
\gamma -5\delta = 1. \tag{F}
Agora resolvo o sistema simples formado por (E) e (F):
\begin{cases} \gamma + 4\delta = 1,\\[4pt] \gamma - 5\delta = 1. \end{cases}
Subtraindo as equações (E) - (F) obtém-se 9\delta = 0\], logo \[\delta = 0.\] Substituindo em (E) dá \(\gamma = 1. Com \gamma e \delta conhecidos, volto para \beta:
\beta = \gamma + \delta + 1 = 1 + 0 + 1 = 2.
E então para \alpha:
\alpha = -2 + \beta - \gamma + \delta = -2 + 2 -1 + 0 = -1.
Portanto os parâmetros são \displaystyle \alpha=-1,\\ \beta=2,\\ \gamma=1,\\ \delta=0.]

Passo 6

Calcular o ponto de interseção usando esses parâmetros — mais fácil calcular p+\alpha u+\beta v. Faço componente por componente (tudo exibido explicitamente):
p+\alpha u+\beta v = \begin{bmatrix}-6\\\ -1\\\ -5\\\ -1\end{bmatrix} +(-1)\begin{bmatrix}2\\\ -2\\\ 2\\\ 3\end{bmatrix} +2\begin{bmatrix}-2\\\ -3\\\ -3\\\ 1\end{bmatrix}.
Calculo as somas coordenada a coordenada:
  • Primeira coordenada:
    -6 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2) = -6 -2 -4 = -12.
  • Segunda coordenada:
    -1 + (-1)\cdot(-2) + 2\cdot(-3) = -1 +2 -6 = -5.
  • Terceira coordenada:
    -5 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-3) = -5 -2 -6 = -13.
  • Quarta coordenada:
    -1 + (-1)\cdot 3 + 2\cdot 1 = -1 -3 +2 = -2.
Logo o ponto de interseção é
\begin{bmatrix}-12\\\ -5\\\ -13\\\ -2\end{bmatrix}.
(Como checagem rápida, pode-se calcular também q+\gamma w+\delta z = q + 1\cdot w + 0\cdot z = [-12,-5,-13,-2]^T, coincide.)

Resposta

(F) -12

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