Q3: Sabendo que o ponto (-2,2,-3, k) pertence ao plano (-2,-3,1,2)+\operatorname{span}\{(1,-2,1,2),(-1,-3,3,-1)\}, assinale o valor de k :
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
Passo 1
O enunciado pede o valor de k tal que o ponto (-2,2,-3,k) pertence ao plano dado por (-2,-3,1,2)+\operatorname{span}\{(1,-2,1,2),(-1,-3,3,-1)\}.
Informações dadas:
Ponto base do plano: \,(-2,-3,1,2)\,.
Vetores geradores (os que estão no span): \,(1,-2,1,2)\, e \,(-1,-3,3,-1)\,.
Ponto que deve pertencer ao plano: \,(-2,2,-3,k)\,.
Pergunta: encontrar o valor de k que torna esse ponto um elemento do plano (escolha entre as alternativas dadas).
Passo 2
Explicando a ideia (só para não ficarmos perdidos): dizer que um ponto X pertence ao plano descrito significa que existe combinação linear dos vetores geradores, somada ao ponto base, que produz X. Ou seja, existem escalares \alpha e \beta tais que
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos que vamos determinar. Essa é a forma paramétrica de um plano afim: ponto base + span dos vetores diretores.
Passo 3
Agora escrevemos a igualdade componente a componente (cada coordenada deve coincidir). Isso gera o sistema