Q3: Sabendo que o ponto (-2,2,-3, k) pertence ao plano (-2,-3,1,2)+\operatorname{span}\{(1,-2,1,2),(-1,-3,3,-1)\}, assinale o valor de k :
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3

Passo 1

O enunciado pede o valor de k tal que o ponto (-2,2,-3,k) pertence ao plano dado por (-2,-3,1,2)+\operatorname{span}\{(1,-2,1,2),(-1,-3,3,-1)\}.
Informações dadas:
  • Ponto base do plano: \,(-2,-3,1,2)\,.
  • Vetores geradores (os que estão no span): \,(1,-2,1,2)\, e \,(-1,-3,3,-1)\,.
  • Ponto que deve pertencer ao plano: \,(-2,2,-3,k)\,.
  • Pergunta: encontrar o valor de k que torna esse ponto um elemento do plano (escolha entre as alternativas dadas).

Passo 2

Explicando a ideia (só para não ficarmos perdidos): dizer que um ponto X pertence ao plano descrito significa que existe combinação linear dos vetores geradores, somada ao ponto base, que produz X. Ou seja, existem escalares \alpha e \beta tais que
(-2,-3,1,2)+\alpha(1,-2,1,2)+\beta(-1,-3,3,-1)=(-2,2,-3,k).
Aqui \alpha e \beta são números reais desconhecidos que vamos determinar. Essa é a forma paramétrica de um plano afim: ponto base + span dos vetores diretores.

Passo 3

Agora escrevemos a igualdade componente a componente (cada coordenada deve coincidir). Isso gera o sistema
\begin{cases} -2+\alpha-\beta=-2,\\[4pt] -3-2\alpha-3\beta=2,\\[4pt] 1+\alpha+3\beta=-3,\\[4pt] 2+2\alpha-\beta=k. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo.
Da primeira equação temos
-2+\alpha-\beta=-2\quad\Rightarrow\quad \alpha-\beta=0.
Logo
\alpha=\beta.

Passo 5

Substituindo \beta=\alpha na segunda equação:
-3-2\alpha-3\alpha=2 \quad\Rightarrow\quad -3-5\alpha=2.
Isolando \alpha:
-5\alpha=2+3=5 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-1.
Como \beta=\alpha, segue \beta=-1.

Passo 6

Verificação rápida usando a terceira equação para garantir coerência:
1+\alpha+3\beta=1+(-1)+3(-1)=1-1-3=-3,
que bate com o lado direito -3. Tudo consistente.

Passo 7

Agora calculamos k usando a quarta equação:
k=2+2\alpha-\beta.
Substituindo \alpha=-1 e \beta=-1:
k=2+2(-1)-(-1)=2-2+1=1.

Resposta

(F) 1

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