Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que -5 x_{2}+x_{3}=-5 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ -10 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ -20 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ -10 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ 10 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-4 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ 10 \\\\ 1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ -20 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -2 \\\\ -15 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -6 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ -2 \\\\ -15 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto dos \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} tais que
-5x_{2}+x_{3}=-5.
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(H), cada uma escrita no formato p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}, representa exatamente esse conjunto?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A condição que define o conjunto é a equação linear -5x_{2}+x_{3}=-5.
  • Cada alternativa fornece um vetor particular p e três vetores geradores v_{1},v_{2},v_{3} do subespaço de direções (a span).
  • Para que p+\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} represente o conjunto pedido é preciso que:
    • (i) o vetor p satisfaça a equação -5p_{2}+p_{3}=-5 (ou seja, p seja um ponto da hipersuperfície), e
    • (ii) todos os vetores v_{i} satisfaçam a equação homogênea -5v_{i,2}+v_{i,3}=0 (ou seja, pertençam ao núcleo da forma linear), e
    • (iii) a span gerada pelos v_{i} tenha dimensão 3 (porque a solução da equação linear tem dimensão 3 — é um hiperplano afim de \mathbb{R}^{4}).

Passo 2

Explicando didaticamente a lógica (passo a passo, bem direto): a equação -5x_{2}+x_{3}=-5 é da forma L(x)=b, onde L é a forma linear L(x)= -5x_{2}+x_{3}. O conjunto solução é um conjunto afim: ele é igual a um ponto particular p_{0} que satisfaz L(p_{0})=b mais o núcleo de L,
\{x:\;L(x)=b\}=p_{0}+\{v:\;L(v)=0\}.
Logo, para testar cada alternativa basta:
  • verificar L(p)=-5;
  • verificar L(v_{i})=0 para cada gerador v_{i};
  • verificar que os três v_{i} são linearmente independentes (ou ao menos geram um subespaço de dimensão 3).

Passo 3

Vou testar a alternativa (A). Os dados são
p = (-3,-1,-10,-2), \quad v_{1}=(0,5,1,0),\; v_{2}=(0,0,0,5),\; v_{3}=(4,0,0,0).
Calculo L(p)=-5p_{2}+p_{3}:
L(p) = -5\cdot(-1) + (-10) = 5-10 = -5,
portanto p satisfaz a equação — boa. Agora L aplicado aos geradores:
L(v_{1}) = -5\cdot 5 + 1 = -25+1 = -24 \neq 0.
Como v_{1} não pertence ao núcleo de L, a alternativa (A) não pode representar o conjunto (porque somando p com múltiplos de v_{1} sairíamos da equação).

Passo 4

Testo a alternativa (B). Dados:
p=(1,-3,-20,3), \quad v_{1}=(1,0,0,5),\; v_{2}=(0,0,7,0),\; v_{3}=(0,5,0,0).
Calculo L(p):
L(p) = -5\cdot(-3) + (-20) = 15-20 = -5,
então p satisfaz. Agora os geradores:
L(v_{1}) = -5\cdot 0 + 0 = 0, \qquad L(v_{2}) = -5\cdot 0 + 7 = 7 \neq 0.
Como v_{2} não está no núcleo, (B) está errada.

Passo 5

Testo a alternativa (C). Dados:
p = (-3,-1,-10,-2), \quad v_{1}=(0,1,5,0),\; v_{2}=(0,0,0,-7),\; v_{3}=(6,0,0,0).
Já sabemos de (A) que este p\) satisfaz \(L(p)=-5\). Verifico agora os geradores: \[L(v_{1}) = -5\cdot 1 + 5 = -5+5 = 0,
L(v_{2}) = -5\cdot 0 + 0 = 0,
L(v_{3}) = -5\cdot 0 + 0 = 0.
Todos os três vetores pertencem ao núcleo de L. Agora preciso checar que eles geram um subespaço de dimensão 3 (ou seja, são linearmente independentes). Faço a verificação padrão: suponha
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0.
Escrevendo por coordenadas isso dá o sistema
\begin{cases} \text{coord}_1: & 0\alpha + 0\beta + 6\gamma = 0,\\[4pt] \text{coord}_2: & 1\alpha + 0\beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] \text{coord}_3: & 5\alpha + 0\beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] \text{coord}_4: & 0\alpha -7\beta + 0\gamma = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha=0\]. Da primeira vem \(\gamma=0. Da quarta vem \beta=0. Logo \alpha=\beta=\gamma=0: os vetores são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3, que é exatamente o núcleo de L. Portanto (C) satisfaz (i), (ii) e (iii) e representa exatamente o conjunto pedido.]

Passo 6

Para completar, rápida checagem das demais alternativas (D)–(H) apenas quanto ao ponto particular (se falhar já descarto) — já fiz algumas anteriormente, mas vou terminar:
(D): p=(2,-1,10,1).
L(p)=-5\cdot(-1)+10=5+10=15\neq -5,
logo (D) é falsa.
(E): mesmo p=(2,-1,10,1) — falha como em (D), logo (E) falsa.
(F): p=(1,-3,-20,3) — aqui L(p)=-5 (ok), mas um gerador é (0,-2,0,0) e
L((0,-2,0,0)) = -5\cdot(-2)+0 = 10 \neq 0,
logo (F) falsa.
(G): p=(3,-2,-15,-3) tem L(p)=-5 (ok), porém um gerador é (0,0,-3,0) com
L((0,0,-3,0)) = -5\cdot 0 + (-3) = -3 \neq 0,
logo (G) falsa.
(H): p=(3,-2,-15,-3) tem L(p)=-5 (ok), mas um gerador é (0,3,0,0) e
L((0,3,0,0))=-5\cdot 3 + 0 = -15 \neq 0,
logo (H) falsa.

Resposta

(C)

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