Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(e) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar a posição relativa, o ângulo e a distância entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos no espaço, além de fórmulas para cálculo de ângulo entre objetos e distância de pontos a planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações da reta $ n $ e do plano $ \alpha $.
A reta $ n $ está definida por:
n
Podemos reescrever essa equação de forma paramétrica. Seja $ t $ o parâmetro, então:
alpha éáãáçã
Portanto, a equação paramétrica da reta $ n $ é:
n
O plano $ \alpha $ está definido por:
n: x - 2 = dfracy + 12
Passo 3
Vamos determinar a posição relativa entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $. Para isso, substituímos as equações paramétricas da reta na equação do plano e verificamos se existe algum ponto que satisfaça ambas as equações.
Substituindo $ x = 2 + t $, $ y = -1 + 2t $ e $ z = z $ na equação do plano:
n
Essa equação nos diz que, para qualquer valor de $ t $, a reta $ n $ intercepta o plano $ \alpha $ quando $ z = -4 $. Como $ z $ pode ser qualquer valor na reta, concluímos que a reta $ n $ é paralela ao plano $ \alpha $.
Passo 4
Para calcular a distância entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $, escolhemos um ponto qualquer na reta e utilizamos a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Vamos escolher o ponto correspondente a $ t = 0 $ na reta $ n $:
n
A fórmula da distância $ D $ de um ponto $ (x_0, y_0, z_0) $ ao plano $ ax + by + cz + d = 0 $ é:
alpha
Reescrevendo a equação do plano $ \alpha $ na forma $ 2x - y + z - 1 = 0 $, temos $ a = 2 $, $ b = -1 $, $ c = 1 $ e $ d = -1 $.
Substituindo os valores:
t = 0
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $.
O ângulo entre uma reta e um plano é complementado pelo ângulo entre a direção da reta e o vetor normal do plano. Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta $ n $ e o vetor normal do plano $ \alpha $.
Vetor diretor da reta $ n $:
n
Vetor normal do plano $ \alpha $:
alpha
O ângulo $ \theta $ entre $ \vec{d}n $ e $ \vec{n}\alpha $ é dado por:
n
Calculando o produto escalar:
alpha
Normas dos vetores:
n
Então:
dn = (1, 2, 0)
O ângulo entre a direção da reta e o vetor normal do plano é $ 90^\circ $. Portanto, o ângulo entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $ é o complemento desse ângulo:
alpha
Isso indica que a reta $ n $ é paralela ao plano $ \alpha $.
Resposta
A reta $ n $ é paralela ao plano $ \alpha $, formando um ângulo de $ 0^\circ $ entre eles. A distância entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $ é $ \dfrac{2\sqrt{6}}{3} $ unidades.