Considere as seguintes retas:
E os planos
t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l x+2 y-z=7
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(a) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente descobrir a posição relativa, o ângulo e a distância entre a reta $ m $ e o plano $ \alpha $. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a equação da reta, a equação do plano, vetores diretores e como calcular ângulos e distâncias entre objetos geométricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da reta $ m $ e a equação do plano $ \alpha $.
A reta $ m $ está definida por:
m
Isso significa que um ponto qualquer na reta $ m $ pode ser escrito em termos de $ t $.
O plano $ \alpha $ está definido pela equação:
alpha
Essa é a forma geral de um plano, onde os coeficientes de $ x $, $ y $ e $ z $ nos dão o vetor normal ao plano.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto qualquer na reta $ m $. Basta escolher um valor para $ t $. Vamos escolher $ t = 0 $:
m
Então, o ponto $ P(1, 2, 3) $ está na reta $ m $.

Passo 4

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta $ m $. Observando a parametrização:
m
Esse vetor indica a direção em que a reta $ m $ está se movendo no espaço.

Passo 5

Para entender a posição relativa entre a reta $ m $ e o plano $ \alpha $, precisamos verificar se a reta está contida no plano, é paralela ao plano ou se ela intercepta o plano.
Primeiro, vamos verificar se o ponto $ P(1, 2, 3) $ pertence ao plano $ \alpha $. Substituindo na equação do plano:
m
Como não satisfaz a equação do plano, a reta $ m $ não está contida no plano $ \alpha $.

Passo 6

Agora, vamos verificar se a reta $ m $ é paralela ao plano $ \alpha $. Para isso, vamos calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta $ m $ e o vetor normal do plano $ \alpha $.
O vetor normal do plano $ \alpha $ é:
m
Calculando o produto escalar:
alpha
Como o produto escalar não é zero, a reta $ m $ não é paralela ao plano $ \alpha $.

Passo 7

Como a reta $ m $ não está contida no plano $ \alpha $ nem é paralela a ele, podemos concluir que a reta $ m $ intercepta o plano $ \alpha $.
Para encontrar o ângulo entre a reta e o plano, usamos a relação entre o vetor diretor da reta $ \vec{d}m $ e o vetor normal do plano $ \vec{n}\alpha $.

Passo 8

O ângulo $ \theta $ entre a reta e o plano é complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
theta
Onde $ \phi $ é o ângulo entre $ \vec{d}m $ e $ \vec{n}\alpha $.
Para encontrar $ \phi $, usamos a fórmula do produto escalar:
theta = 90^circ - phi
Calculando:
phi
Então,
dm
Logo,
nalpha
Como o ângulo não pode ser negativo, consideramos $ \theta = 60^\circ $.

Passo 9

Para encontrar a distância entre a reta $ m $ e o plano $ \alpha $, usamos a fórmula:
m
Onde $ \vec{P} $ é um ponto na reta $ m $ e $ D $ é o termo constante do plano.
No caso, a equação do plano $ \alpha $ pode ser escrita como:
alpha
Assim, $ D = -1 $.
Usando o ponto $ P(1, 2, 3) $:
d = | nalpha cdot P + D | | nalpha |

Resposta

A reta $ m $ intercepta o plano $ \alpha $. O ângulo entre a reta e o plano é de $ 60^\circ $ e a distância entre eles é $ \frac{\sqrt{6}}{3} $ unidades.

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