Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
(f) alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda e t
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir a posição relativa, o ângulo e a distância entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, vetores normais e fórmulas para calcular ângulos e distâncias. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações da reta $ t $ e do plano $ \pi $.
A reta $ t $ é definida pela interseção de dois planos:
t
Para encontrar a direção da reta $ t $, precisamos encontrar o vetor diretor dessa reta, que é perpendicular aos vetores normais dos dois planos.
Os vetores normais dos planos são:
pi
O vetor diretor $ \mathbf{d}_t $ da reta $ t $ é o produto vetorial desses dois vetores:
Agora que temos o vetor diretor da reta $ t $ e o vetor normal do plano $ \pi $, podemos determinar a posição relativa entre eles.
A reta está contida no plano $ \pi $ se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano, ou seja, se o produto escalar entre $ \mathbf{d}t $ e $ \mathbf{n}\pi $ for zero.
Vamos calcular o produto escalar:
t
Como o produto escalar não é zero, a reta $ t $ não está contida no plano $ \pi $. Agora, vamos ver se a reta é paralela ao plano.
Passo 7
Para verificar se a reta $ t $ é paralela ao plano $ \pi $, além do produto escalar não ser zero, precisamos ver se a reta não intersecta o plano.
Vamos encontrar um ponto da reta $ t $. Para isso, resolvemos o sistema de equações que define $ t $:
t
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação:
pi
Substituindo na primeira equação:
t
Então, um ponto na reta $ t $ pode ser encontrado atribuindo um valor a $ x $. Vamos escolher $ x = 0 $:
t
Então, o ponto $ P(0, -2, 1) $ está na reta $ t $.
Passo 8
Vamos verificar se o ponto $ P(0, -2, 1) $ está no plano $ \pi $.
As equações do plano $ \pi $ são:
P(0, -2, 1)
Substituindo $ P(0, -2, 1) $:
pi
Da equação (3):
pi
Substituindo em (1):
x = 2 lambda - mu, y = lambda + mu + 1, z = 1 - lambda
E em (2):
P(0, -2, 1) çã
Como não há solução, o ponto $ P $ não está no plano $ \pi $. Portanto, a reta $ t $ é paralela ao plano $ \pi $.
Passo 9
Agora que sabemos que a reta $ t $ é paralela ao plano $ \pi $, vamos calcular o ângulo entre eles.
O ângulo $ \theta $ entre uma reta e um plano é complement complementar ao ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja:
t
onde $ \alpha $ é o ângulo entre $ \mathbf{d}t $ e $ \mathbf{n}\pi $.
Vamos calcular $ \alpha $ usando o produto escalar:
pi
Já calculamos $ \mathbf{d}t \cdot \mathbf{n}\pi = 13 $.
Calculando as normas:
theta
theta = 90^circ - alpha
Então:
alpha
dt
Portanto:
npi
Passo 10
Por último, vamos calcular a distância entre a reta $ t $ e o plano $ \pi $.
A fórmula para a distância $ D $ entre uma reta e um plano, quando a reta é paralela ao plano, é dada por:
t
onde $ \mathbf{p}0 $ é um ponto da reta $ t $ e $ \mathbf{p}\pi $ é um ponto no plano $ \pi $.
Vamos usar o ponto $ P(0, -2, 1) $ da reta $ t $ e o ponto $ Q(0, 1, 1) $ do plano $ \pi $.
Calculando $ \mathbf{P} - \mathbf{Q} $:
pi
Então:
D
Resposta
A reta $ t $ e o plano $ \pi $ são paralelos, formando um ângulo de aproximadamente $ 68,2^\circ $ entre eles, e a distância entre a reta e o plano é de aproximadamente $ 0,9045 $ unidades.