Considere as seguintes séries:
(i) \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}},
(ii) \sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right),
(iii) \sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2} \sqrt{1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}
Assinale a alternativa correta.
(a) (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(d) (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(e) (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.

Passo 1

O enunciado dá três séries indexadas por n que começam em n=3 e pede que a gente diga se cada uma converge ou diverge:
\text{(i)}\quad \sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}},
\text{(ii)}\quad \sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right),
\text{(iii)}\quad \sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\\ \sqrt{1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os termos contêm a expressão \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}, que para n grande se comporta como uma potência de n.
  • Aparecem também \sqrt[n]{n}, 1-\cos(1/n^{2}) e \sqrt{1-\cos(1/n^{2})}, que para n grande são quantidades pequenas ou que tendem a constantes.
  • Nosso objetivo: determinar, para cada uma das séries (i), (ii), (iii), se a soma infinita converge ou diverge.

Passo 2

Ferramentas e ideias que vamos usar (breve aula rápida e intuitiva):
  • Teste da série-p (p-série): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Intuição: se p\le 1 os termos não decaem rápido o suficiente; se p>1 decaem rápido o bastante. Uma justificativa formal usa o teste integral: comparar com \int_{1}^{\infty} x^{-p}dx.
  • Equivalência assintótica (ou comparação por comportamento assintótico): se a_n\sim b_n (isto é, \lim_{n\to\infty} a_n/b_n = 1), então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem) desde que b_n>0. Na prática, vamos aproximar os termos para grandes n e compará‑los com uma p-série.
  • Expansões simples para pequenas x:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\quad (x\to 0),
portanto
1-\cos x \sim \frac{x^{2}}{2}\quad (x\to 0).
E então
\sqrt{1-\cos x}\sim\frac{|x|}{\sqrt{2}}\quad (x\to 0),
pois a raiz quadrada transforma a ordem quadrática em ordem linear.
  • Comportamento de \sqrt[n]{n}=n^{1/n}: usar log para ver que n^{1/n}\to 1. Vou mostrar isso com detalhe no próximo passo.

Passo 3

Mostrando detalhes técnicos úteis:
  • Comportamento de \sqrt[n]{n}. Escrevemos
\ln\bigl(n^{1/n}\bigr)=\frac{\ln n}{n}.
Como \ln n=o(n), temos \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0. Logo
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}= \lim_{n\to\infty} e^{\frac{\ln n}{n}} = e^{0}=1.
Portanto, para grandes n, \sqrt[n]{n} é próximo de 1.
  • Comportamento de \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}. Factorizamos n^{3} dentro da raiz:
\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2} = \sqrt{n^{3}\left(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^{2}}-\frac{2}{n^{3}}\right)}.
Isso é
\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2} = n^{3/2}\sqrt{1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^{2}}-\frac{2}{n^{3}}}.
Como o conteúdo da raiz tende a 1 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}}{n^{3/2}} = 1.
Portanto, para grandes n,
\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2} \sim n^{3/2}.

Passo 4

Análise da série (i):
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}}.
Usando os resultados dos passos anteriores:
  • \sqrt[n]{n}\to 1.
  • \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\sim n^{3/2}.
    Logo o termo geral é equivalente a
\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}} \sim \frac{1}{n^{3/2}}.
Mais formalmente, \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}}}{1/n^{3/2}} = 1.
Pelo teste da série-p, como 3/2>1, a série
\sum \frac{1}{n^{3/2}}
converge, logo a série (i) converge por comparação assintótica.

Passo 5

Relembrando o comportamento de 1-\cos x para pequenos x:
1-\cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\quad (x\to 0),
ou seja, 1-\cos x \sim x^{2}/2.
Para x=\dfrac{1}{n^{2}} temos
1-\cos\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \sim \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n^{4}}.

Passo 6

Análise da série (ii):
\sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right).
Usamos as equivalências:
  • \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\sim n^{3/2}.
  • 1-\cos(1/n^{2})\sim \dfrac{1}{2}\, \dfrac{1}{n^{4}}.
    Multiplicando,
\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \sim n^{3/2}\cdot\frac{1}{2n^{4}} = \frac{1}{2}\, n^{-5/2}.
Como 5/2>1, a série correspondente \sum n^{-5/2} converge. Pelo mesmo argumento de equivalência/comparação assintótica, a série (ii) converge.

Passo 7

Análise da série (iii):
\sum_{n=3}^{\infty} \sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\\ \sqrt{1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)}.
Primeiro, para x\to 0,
\sqrt{1-\cos x}\sim \frac{|x|}{\sqrt{2}}.
Tomando x=1/n^{2}>0, fica
\sqrt{1-\cos(1/n^{2})}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Multiplicando pela raiz que já sabemos \sim n^{3/2},
\sqrt{n^{3}-4 n^{2}+5 n-2}\\ \sqrt{1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)} \sim n^{3/2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\, n^{-1/2}.
Então o termo geral é comparável a uma constante vezes n^{-1/2}. A série \sum n^{-1/2} é uma p-série com p=1/2\le 1, portanto diverge. Assim a série (iii) diverge.

Passo 8

Resumo e conclusão lógica (para ficar bem claro):
  • (i) tem termo equivalente a 1/n^{3/2} com 3/2>1 → converge.
  • (ii) tem termo equivalente a (1/2) n^{-5/2} com 5/2>1 → converge.
  • (iii) tem termo equivalente a (1/\sqrt{2}) n^{-1/2} com 1/2\le 1 → diverge.
Portanto a alternativa correta é a que diz: (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.

Resposta

(a)

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