Considere as seguintes séries:
(i)
,
(ii)
,
(iii)
Assinale a alternativa correta.
(a) (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(d) (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(e) (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
(i)
(ii)
(iii)
(a) (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) (i) diverge, (ii) converge, (iii) converge.
(d) (i) converge, (ii) diverge, (iii) converge.
(e) (i) diverge, (ii) converge, (iii) diverge.
Passo 1
O enunciado dá três séries indexadas por
que começam em
e pede que a gente diga se cada uma converge ou diverge:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os termos contêm a expressão
, que para grande se comporta como uma potência de . - Aparecem também
, e , que para grande são quantidades pequenas ou que tendem a constantes. - Nosso objetivo: determinar, para cada uma das séries (i), (ii), (iii), se a soma infinita converge ou diverge.
Passo 2
Ferramentas e ideias que vamos usar (breve aula rápida e intuitiva):
- Teste da série-p (p-série): a série
converge se, e somente se,
. Intuição: se
os termos não decaem rápido o suficiente; se
decaem rápido o bastante. Uma justificativa formal usa o teste integral: comparar com
.
- Equivalência assintótica (ou comparação por comportamento assintótico): se
(isto é, ), então e têm o mesmo comportamento (convergem ou divergem) desde que . Na prática, vamos aproximar os termos para grandes e compará‑los com uma -série. - Expansões simples para pequenas
:
portanto
E então
pois a raiz quadrada transforma a ordem quadrática em ordem linear.
- Comportamento de
: usar log para ver que . Vou mostrar isso com detalhe no próximo passo.
Passo 3
Mostrando detalhes técnicos úteis:
- Comportamento de
. Escrevemos
Como
, temos
. Logo
Portanto, para grandes
,
é próximo de
.
- Comportamento de
. Factorizamos dentro da raiz:
Isso é
Como o conteúdo da raiz tende a
quando
, temos
Portanto, para grandes
,
Passo 4
Análise da série (i):
Usando os resultados dos passos anteriores:
-
. -
.
Logo o termo geral é equivalente a
Mais formalmente,
.
Pelo teste da série-p, como , a série
Pelo teste da série-p, como
converge, logo a série (i) converge por comparação assintótica.
Passo 5
Relembrando o comportamento de
para pequenos
:
ou seja,
.
Para
temos
Passo 6
Análise da série (ii):
Usamos as equivalências:
-
. -
.
Multiplicando,
Como
, a série correspondente
converge. Pelo mesmo argumento de equivalência/comparação assintótica, a série (ii) converge.
Passo 7
Análise da série (iii):
Primeiro, para
,
Tomando
, fica
Multiplicando pela raiz que já sabemos
,
Então o termo geral é comparável a uma constante vezes
. A série
é uma p-série com
, portanto diverge. Assim a série (iii) diverge.
Passo 8
Resumo e conclusão lógica (para ficar bem claro):
- (i) tem termo equivalente a
com → converge. - (ii) tem termo equivalente a
com → converge. - (iii) tem termo equivalente a
com → diverge.
Portanto a alternativa correta é a que diz: (i) converge, (ii) converge, (iii) diverge.
Resposta
(a)