Sejam S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} 2^{\frac{1}{n}} e S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} 3^{\frac{-1}{n}}. Assinale a alternativa correta:
(a) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(b) S_{1} e S_{2} são absolutamente convergentes.
(c) S_{1} e S_{2} são condicionalmente convergentes.
(d) S_{1} absolutamente e S_{2} condicionalmente convergentes.
(e) S_{1} condicionalmente e S_{2} absolutamente convergentes.
Pede-se que escolhamos, entre as alternativas (a) a (e), qual descreve corretamente o tipo de convergência (absoluta, condicional, divergente) dessas séries. Ou seja, precisamos decidir se cada série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou não converge.
Informações relevantes dadas:
\text{termos de }S_{1}:\; a_n^{(1)} = (-1)^n 2^{\frac{1}{n}}, \qquad \text{termos de }S_{2}:\; a_n^{(2)} = (-1)^n 3^{-\frac{1}{n}}.
As alternativas relacionam convergência absoluta, condicional ou a opção de que nenhuma das alternativas é verdadeira.
Passo 2
Lembrete didático (condição necessária para convergência de séries): se uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então os termos a_n necessariamente tendem a zero quando n\to\infty. Isto é uma condição necessária (mas não suficiente):
Explicação curta e intuitiva: somar infinitos termos para obter um número finito exige que os termos individuais fiquem cada vez menores e, no limite, cheguem a zero; se não vão a zero, as “faltas” não cancelam e a soma não estabiliza.
Esse é um teste simples, rápido e muito útil para eliminar convergência: avaliar \lim_{n\to\infty} a_n. Se for diferente de zero (ou não existir com valor zero), a série diverge imediatamente.
Passo 3
Aplicando essa condição a S_{1}. O termo geral é
a_n^{(1)} = (-1)^n 2^{\frac{1}{n}}.
Vamos estudar \lim_{n\to\infty} a_n^{(1)}. Primeiro observe a parte positiva:
2^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{\ln 2}{n}}.
Como \frac{\ln 2}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela continuidade da exponencial temos
Como há o fator alternante (-1)^n, a sequência a_n^{(1)} oscila aproximadamente entre valores próximos de 1 e -1 quando n é grande. Em particular
\lim_{n\to\infty} a_n^{(1)} \text{ não é }0 \quad(\text{na verdade não existe como um único valor; os termos ficam próximos de }\pm 1).ãéãúó
Pelo resultado do Passo 2, se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Logo S_{1} diverge.
Passo 4
Mais didático sobre por que isso é suficiente: se você escrever alguns termos grandes de S_{1} nota que para n grande
a_n^{(1)} \approx (-1)^n\cdot 1,
então soma parcial com muitos termos não se aproxima de um número fixo, porque os acréscimos continuam alternando ±1 e não tendem a zero.
Passo 5
Aplicando o mesmo raciocínio a S_{2}. O termo geral é
a_n^{(2)} = (-1)^n 3^{-\frac{1}{n}}.
Observe que
3^{-\frac{1}{n}} = e^{-\frac{\ln 3}{n}},
e como \frac{\ln 3}{n}\to 0,
\lim_{n\to\infty} 3^{-\frac{1}{n}} = e^{0} = 1.
Portanto
\lim_{n\to\infty} \bigl|a_n^{(2)}\bigr| = 1,
e novamente os termos a_n^{(2)} oscilam aproximadamente entre 1 e -1 quando n é grande, logo
\lim_{n\to\infty} a_n^{(2)} \neq 0.
Pelo mesmo motivo do Passo 2, a série S_{2} também não pode convergir — diverge.
Passo 6
Conclusão lógica sobre as alternativas: vimos que
S_{1} diverge (logo não é absolutamente nem condicionalmente convergente);
S_{2} diverge (idem).
As alternativas (b) a (e) afirmam tipos de convergência para uma ou ambas as séries, portanto todas são falsas. A alternativa correta é então a (a): nenhuma das outras alternativas é verdadeira.