Sejam S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{2}+1}} e S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}.
(a) S_{1} absolutamente e S_{2} condicionalmente convergentes.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c) S_{1} e S_{2} são absolutamente convergentes.
(d) S_{1} condicionalmente e S_{2} absolutamente convergentes.
(e) S_{1} e S_{2} são condicionalmente convergentes.

Passo 1

O enunciado dá duas séries alternadas e pede que a gente classifique a convergência de cada uma (se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes). As séries são:
S_{1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}
S_{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}
Perguntas a responder: (i) S_{1} é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente? (ii) S_{2} é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?

Passo 2

Primeiro lembro definições e testes que vou usar (explicação didática curta):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, ela é condicionalmente convergente.
  • Teste da série p (p-series): \sum 1/n^{p} converge se, e somente se, p>1. Exemplos: \sum 1/n^{2} converge; \sum 1/n^{1/2} diverge.
  • Teste da comparação/limite de comparação: se a_n>0 e b_n>0 e \lim_{n\to\infty} a_n/b_n = L com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
  • Teste de Leibniz (alternating series test): se b_n\ge0, b_{n}\downarrow0 (monotonicamente decrescente para n suficientemente grande) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge.
Vou aplicar esses itens às séries dadas.

Passo 3

Analiso a convergência absoluta de S_{1}. A série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^{2}+1)^{1/3}}.
Compare essa com a p-série \sum 1/n^{2/3}. Faço o limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{(n^{2}+1)^{1/3}}}{\dfrac{1}{n^{2/3}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2/3}}{(n^{2}+1)^{1/3}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{2}}{n^{2}+1}\right)^{1/3}=1.
Como o limite é um número finito e positivo, \sum 1/(n^{2}+1)^{1/3} e \sum 1/n^{2/3} têm o mesmo comportamento. A p-série com p=2/3 diverge porque 2/3\le1. Portanto \sum 1/(n^{2}+1)^{1/3} diverge, logo S_{1} não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora verifico se S_{1} converge condicionalmente (isto é, se a própria série alternada converge). Considere b_n=\dfrac{1}{(n^{2}+1)^{1/3}}. Preciso checar duas coisas para o teste de Leibniz: (i) \lim_{n\to\infty} b_n=0 e (ii) b_n é decrescente para n suficientemente grande.
(i) É claro que
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n^{2}+1)^{1/3}}=0,
pois o denominador cresce sem limite.
(ii) Para monotonicidade, defino f(x)=(x^{2}+1)^{-1/3} para x\ge0. Calculo a derivada (mostrando passo a passo):
f'(x) = -\frac{1}{3}(x^{2}+1)^{-4/3}\cdot 2x = -\frac{2x}{3}(x^{2}+1)^{-4/3}.
Para x>0 temos f'(x)<0, logo f é estritamente decrescente em (0,\infty). Assim a sequência b_n=f(n) é decrescente a partir de n=1. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, e a série alternada S_{1} converge.
Combinando com o resultado do Passo 3 (não absolutamente convergente), concluímos que S_{1} é condicionalmente convergente.

Passo 5

Analiso a convergência absoluta de S_{2}. A série dos valores absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^{4}+1)^{1/3}}.
Compare com a p-série \sum 1/n^{4/3}. Faço o limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{(n^{4}+1)^{1/3}}}{\dfrac{1}{n^{4/3}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{4/3}}{(n^{4}+1)^{1/3}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^{4}}{n^{4}+1}\right)^{1/3}=1.
Como o limite é finito e positivo, \sum 1/(n^{4}+1)^{1/3} e \sum 1/n^{4/3} têm o mesmo comportamento. A p-série com p=4/3 converge porque 4/3>1. Portanto \sum 1/(n^{4}+1)^{1/3} converge, ou seja, S_{2} é absolutamente convergente.

Passo 6

Uma observação final: se uma série é absolutamente convergente então ela é convergente (convergência absoluta implica convergência). Assim S_{2} converge e, além disso, converge absolutamente. Já S_{1} converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente, ou seja, converge condicionalmente.

Resposta

(d)

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