Sejam
e
.
(a)
absolutamente e
condicionalmente convergentes.
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c)
e
são absolutamente convergentes.
(d)
condicionalmente e
absolutamente convergentes.
(e)
e
são condicionalmente convergentes.
(a)
(b) Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá duas séries alternadas e pede que a gente classifique a convergência de cada uma (se são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes). As séries são:
Perguntas a responder: (i)
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente? (ii)
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
Passo 2
Primeiro lembro definições e testes que vou usar (explicação didática curta):
- Uma série
é absolutamente convergente se converge. Se converge mas diverge, ela é condicionalmente convergente. - Teste da série p (p-series):
converge se, e somente se, . Exemplos: converge; diverge. - Teste da comparação/limite de comparação: se
e e com , então e têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). - Teste de Leibniz (alternating series test): se
, (monotonicamente decrescente para n suficientemente grande) e , então converge.
Vou aplicar esses itens às séries dadas.
Passo 3
Analiso a convergência absoluta de
. A série dos valores absolutos é
Compare essa com a p-série
. Faço o limite de comparação:
Como o limite é um número finito e positivo,
e
têm o mesmo comportamento. A p-série com
diverge porque
. Portanto
diverge, logo
não é absolutamente convergente.
Passo 4
Agora verifico se
converge condicionalmente (isto é, se a própria série alternada converge). Considere
. Preciso checar duas coisas para o teste de Leibniz: (i)
e (ii)
é decrescente para
suficientemente grande.
(i) É claro que
pois o denominador cresce sem limite.
(ii) Para monotonicidade, defino
para
. Calculo a derivada (mostrando passo a passo):
Para
temos
, logo
é estritamente decrescente em
. Assim a sequência
é decrescente a partir de
. Portanto as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, e a série alternada
converge.
Combinando com o resultado do Passo 3 (não absolutamente convergente), concluímos que
é condicionalmente convergente.
Passo 5
Analiso a convergência absoluta de
. A série dos valores absolutos é
Compare com a p-série
. Faço o limite de comparação:
Como o limite é finito e positivo,
e
têm o mesmo comportamento. A p-série com
converge porque
. Portanto
converge, ou seja,
é absolutamente convergente.
Passo 6
Uma observação final: se uma série é absolutamente convergente então ela é convergente (convergência absoluta implica convergência). Assim
converge e, além disso, converge absolutamente. Já
converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente, ou seja, converge condicionalmente.
Resposta
(d)