Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
lx1+x2+x3+x4=0 x1-2 x2+3 x3+4 x4=0 x1+3 x2+6 x3+10 x4=0 x1+4 x2+10 x3+20 x4=0
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.
ii.) Resolva cada sistema de equações usando a regra de Cramer (caso seja possível).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo
x1+x2+x3+x4=0, x1-2x2+3x3+4x4=0, x1+3x2+6x3+10x4=0, x1+4x2+10x3+20x4=0,
e pede (i) solução pelo método de Gauss e (ii) pelo método de Cramer. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares, obtenção de forma escalonada e cálculo de determinantes.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss. Primeiro subtraímos a primeira linha das demais:
1 & 1 & 1 & 1 0 & -3 & 2 & 3 0 & 2 & 5 & 9 0 & 3 & 9 & 19
As equações correspondentes são
x1+x2+x3+x4=0, -3x2+2x3+3x4=0, 2x2+5x3+9x4=0, 3x2+9x3+19x4=0
Em seguida usamos a segunda linha para zerar os coeficientes de x2 nas linhas 3 e 4:
– Na linha 3 fazemos L 3 L 3+ tfrac23 cdotL 2, resultando em
0;x2+193x3+11x4=0
– Na linha 4 fazemos L 4 L 4+ L 2, resultando em
0;x2+11x3+22x4=0

Passo 3

Agora temos em forma escalonada
x1+x2+x3+x4=0, -3x2+2x3+3x4=0, tfrac193x3+11x4=0, 11x3+22x4=0
Da quarta equação vem 11x3+22x4=0Rightarrow x3+2x4=0. Da terceira, tfrac193x3+11x4=0. Substituindo x3=-2x4 verifica-se que a única forma de ambas se satisfazerem é x4=0, e então x3=0. Da segunda equação -3x2=0 x2=0. Por fim da primeira x1=0. Logo a única solução é
x1=x2=x3=x4=0

Passo 4

Para usar Cramer, calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A= 1 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 3 & 4 1 & 3 & 6 & 10 1 & 4 & 10 & 20
Subtraindo a primeira linha das demais e expandindo pelo menor complementar, obtém‐se
det(A)=-55neq0
Como det(A)neq0, a regra de Cramer vale.

Passo 5

Em Cramer, cada variável é
xi=det(Ai)det(A),
onde Ai é obtida de A trocando a coluna i pelo vetor b=(0,0,0,0). Mas então det(Ai)=0 para todo i, pois cada Ai tem uma coluna nula. Logo
xi=0forall iin1,2,3,4

Resposta

A única solução em ambos os métodos é
x1=x2=x3=x4=0

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