Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
l3 x1-2 x2+x3=5 2 x1+3 x2+x3=1 2 x1+x2+3 x3=11 ,
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.
ii.) Resolva cada sistema de equações usando a regra de Cramer (caso seja possível).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
3x1-2x2+x3=5, 2x1+3x2+x3=1, 2x1+x2+3x3=11
e pede (i) resolver por eliminação de Gauss e (ii) resolver por regra de Cramer. Vamos usar operações elementares de linha para triangularizar a matriz aumentada e depois voltar para encontrar (x1,x2,x3). Em seguida, calculamos determinantes para aplicar Cramer, lembrando que isso só vale se det(A)neq0.

Passo 2

Método de Gauss – montar a matriz aumentada e eliminar x1 em R2 e R3:
[ccc|c 3 & -2 & 1 & 5 2 & 3 & 1 & 1 2 & 1 & 3 & 11 ] R2 R2-tfrac23R1,; R3 R3-tfrac23R1 ;longrightarrow; [ccc|c 3 & -2 & 1 & 5 0 & tfrac133 & tfrac13 & -tfrac73 0 & tfrac73 & tfrac73 & tfrac233 ]

Passo 3

Ainda no Gauss – eliminar frações e zerar x2 em R3:
R2 3R2,; R3 3R3 ;longrightarrow; [ccc|c 3 & -2 & 1 & 5 0 & 13 & 1 & -7 0 & 7 & 7 & 23 ] R3 R3-tfrac713R2 ;longrightarrow; [ccc|c 3 & -2 & 1 & 5 0 & 13 & 1 & -7 0 & 0 & tfrac2813 & tfrac11613 ]

Passo 4

Voltando por substituição:
da última linha
tfrac2813x3=tfrac11613 Longrightarrow x3=11628=297
da segunda linha (multiplicada por 1)
13x2+x3=-7 Longrightarrow 13x2=-7-tfrac297=-tfrac787 Longrightarrow x2=-tfrac67
da primeira linha
3x1-2x2+x3=5 Longrightarrow 3x1=5+2l(-tfrac67r)-tfrac297=-tfrac67 Longrightarrow x1=-tfrac27

Passo 5

Regra de Cramer – o determinante da matriz dos coeficientes é
D=det 3 & -2 & 1 2 & 3 & 1 2 & 1 & 3 =28neq0,
logo podemos usar Cramer. Substituindo a coluna de xi por (5,1,11) e calculando cada Di, obtém-se
D1=-8, D2=-24, D3=116
Assim
x1=D1D=-tfrac27, x2=D2D=-tfrac67, x3=D3D=tfrac297

Resposta

(x1,x2,x3)=l(-tfrac27,,-tfrac67,,tfrac297r)

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