Considere os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares. Para cada sistema, encontre a dimensão e uma base para o espaço solução W.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+z-2 t=0, \\\\ 2 x+4 y+4 z-3 t=0, \\\\ 3 x+6 y+7 z-4 t=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo em quatro incógnitas x,y,z,t\): \[\begin{cases} x + 2y + z - 2t = 0,\\\\ 2x + 4y + 4z - 3t = 0,\\\\ 3x + 6y + 7z - 4t = 0.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma reduzida, identificar variáveis livres e pivôs, escrever a solução parametricamente e extrair uma base do espaço solução (W].

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada (sem coluna de zeros, pois é homogêneo):
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & -2\\\\ 2 & 4 & 4 & -3\\\\ 3 & 6 & 7 & -4 \end{array}\right].
Aplicamos operações de linha para zerar abaixo de a_{11}=1:
  1. L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
  2. L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1
    Isso dá
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 4 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Continuamos a eliminação para zerar abaixo de a_{23}=2: L_3 \leftarrow L_3 - 2L_2, obtendo
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora a matriz está em forma escalonada.

Passo 4

Dos pivôs vemos que as variáveis pivô são x\) (coluna 1) e \(z\) (coluna 3). As variáveis livres são \(y\) e \(t\). Das equações escalonadas: \[\begin{cases} x + 2y + z - 2t = 0,\\\\ 2z + t = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue (z = -\tfrac12,t]. Substituindo na primeira:
x = -2y - z + 2t = -2y + \tfrac12\,t + 2t = -2y + \tfrac52\,t.

Passo 5

Escolhendo parâmetros independentes \displaystyle y = s e \displaystyle t = 2u, então
z = -u,\quad x = -2s + 5u.
Logo o vetor solução é
(x,y,z,t) = s\,(-2,1,0,0) \;+\; u\,(5,0,-1,2).
Dessa forma extraímos uma base e a dimensão de W.

Resposta

A dimensão de W é 2.
Uma base para W é dada por
\{\,(-2,1,0,0),\;(5,0,-1,2)\}.

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