Considere os seguintes subespaços W de \mathbb{R}^{3} :
W=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} \mid a=b=c\right\}
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid a = b = c\}
e pede para encontrar uma base e a dimensão de W. O conteúdo aqui é reconhecer que em W todos os vetores têm coordenadas iguais, de modo que podemos escrever qualquer vetor de W em forma paramétrica e, a partir daí, identificar um gerador único que forma base.

Passo 2

Como todo (a,b,c)\in W satisfaz a=b=c, existe um único parâmetro t\in\mathbb{R} tal que
(a,b,c) = (t,t,t) = t\,(1,1,1).
Isso mostra que qualquer vetor de W é múltiplo escalar de (1,1,1). Portanto:
  1. O conjunto \{(1,1,1)\} gera W.
  2. O vetor (1,1,1) não é combinação linear trivial (ou seja, não é o vetor zero), logo é linearmente independente.
Assim, \{(1,1,1)\} é base de W e há exatamente um vetor nessa base, indicando que a dimensão de W é 1.

Resposta

Uma base de W é \{(1,1,1)\} e \dim(W)=1.

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