Considere os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares. Para cada sistema, encontre a dimensão e uma base para o espaço solução W. \left\{\begin{array}{l}x+2 y+z-2 t=0, \\\\ 2 x+4 y+4 z-3 t=0, \\\\ 3 x+6 y+7 z-4 t=0 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema homogêneo em quatro incógnitas x,y,z,t\):
\[\begin{cases} x + 2y + z - 2t = 0,\\\\ 2x + 4y + 4z - 3t = 0,\\\\ 3x + 6y + 7z - 4t = 0.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma reduzida, identificar variáveis livres e pivôs, escrever a solução parametricamente e extrair uma base do espaço solução (W].
Passo 2
Escrevemos a matriz ampliada (sem coluna de zeros, pois é homogêneo):
Dos pivôs vemos que as variáveis pivô são x\) (coluna 1) e \(z\) (coluna 3). As variáveis livres são \(y\) e \(t\).
Das equações escalonadas:
\[\begin{cases} x + 2y + z - 2t = 0,\\\\ 2z + t = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue (z = -\tfrac12,t]. Substituindo na primeira: x = -2y - z + 2t = -2y + \tfrac12\,t + 2t = -2y + \tfrac52\,t.
Passo 5
Escolhendo parâmetros independentes \displaystyle y = s e \displaystyle t = 2u, então