Considere as seguintes T. lineares:
  1. T1: R^3 R^3 definida por T1(x, y, z)=(3 x,-2 y, x-y).
  2. T2: R^3 R^2 definida por T2(x, y, z)=(x-z, 2 x+y+3 z).
  3. T3: R^3 R^3 definida por T3(x, y, z)=(x, y,-z).
    Calcule o que se pede:
    (a) T1+T3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas transformações lineares, e , e queremos descobrir como fica a soma dessas duas transformações, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber como somar transformações lineares e aplicar isso às funções dadas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a soma de duas transformações lineares (T + S)(v) = T(v) + S(v) e é uma nova transformação que, para qualquer vetor de entrada , é definida por:
Isso significa que a gente aplica cada transformação separadamente e depois soma os resultados componente a componente.

Passo 3

Vamos aplicar isso às transformações T1(x, y, z) = (3x, -2y, x - y) e T3(x, y, z) = (x, y, -z) . Seja um vetor de entrada .
Primeiro, aplicamos :
Depois, aplicamos :

Passo 4

Agora, somamos os resultados das duas transformações:
T1(x, y, z) + T3(x, y, z) = (3x + x, -2y + y, (x - y) + (-z))
Simplificando cada componente:
(4x, -y, x - y - z)

Resposta

A soma das transformações lineares (T1 + T3)(x, y, z) = (4x, -y, x - y - z) é dada por:

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