Seja .
Determine as bases e dimensões para:
a) espaço coluna de A;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar as bases e dimensões do espaço coluna da matriz . Isso faz parte do estudo de espaços vetoriais na Álgebra Linear. Pra resolver isso, a gente precisa identificar quais colunas de são linhadamente independentes e, a partir daí, determinar a base e a dimensão desse espaço.
Nosso objetivo é encontrar quais colunas são essenciais para formar o espaço coluna.
Passo 3
Vamos usar a técnica de redução de linha para simplificar a matriz e identificar as colunas pivô (as que têm o primeiro 1 na linha). Isso vai nos ajudar a ver quais colunas são independentes.
Passo 4
Primeiro, observamos que a primeira coluna já tem um 1 no topo. Vamos usar esse 1 para eliminar os números abaixo dele na primeira coluna.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Já temos um 1 na segunda posição da segunda linha. Vamos usar esse 1 para eliminar os números abaixo dele na segunda coluna.
Subtraindo 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R2
E subtraindo 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
Agora, vamos observar a terceira coluna. Notamos que na terceira linha temos zeros, então a terceira coluna não vai ser uma coluna pivô. Vamos olhar para a quarta coluna.
Multiplicando a quarta linha por -1 para simplificar:
Agora, temos um 1 na quarta coluna da última linha, que será nossa próxima coluna pivô.
Passo 7
Identificamos as colunas pivô na matriz reduzida: a primeira, a segunda e a quarta colunas. Isso significa que as colunas 1, 2 e 4 da matriz original são linhadamente independentes e formam a base do espaço coluna.
Resposta
A base do espaço coluna de 1 0 2 0 , -1 1 0 2 , 0 1 2 1 é formada pelas colunas 1, 2 e 4 de , ou seja,