Seja W o subespaço gerado pelos vetores de alpha=(1,2,1,0),(2,3,1,0),(0,0,1,0),(1,1,2,0).
(a) Verifique se v=(1,3,2,0) está em W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o vetor está no subespaço gerado pelos vetores . Vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos ver se conseguimos escrever c1 cdot (1,2,1,0) + c2 cdot (2,3,1,0) + c3 cdot (0,0,1,0) + c4 cdot (1,1,2,0) = (1,3,2,0) como uma combinação linear dos vetores que geram . Ou seja, queremos encontrar coeficientes tais que:

Passo 3

Vamos montar as equações a partir das componentes dos vetores:
1 = c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot 0 + c4 cdot 1 3 = c1 cdot 2 + c2 cdot 3 + c3 cdot 0 + c4 cdot 1 2 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 1 + c4 cdot 2 0 = c1 cdot 0 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 + c4 cdot 0
A última equação é redundante, então vamos focar nas três primeiras.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. 3 - 1 = (2c1 - c1) + (3c2 - 2c2) + (c4 - c4) 2 = c1 + c2 \quad (Equação 1)
  2. \quad (Equação 2)
  3. \quad (Equação 3)
Primeiro, subtraímos a Equação 1 da Equação 2 para eliminar :
Assim, temos .

Passo 5

Agora, substituímos 1 = (2 - c2) + 2c2 + c4 1 = 2 + c2 + c4 c2 + c4 = -1 c4 = -1 - c2 na Equação 1:

Passo 6

Vamos substituir 2 = (2 - c2) + c2 + c3 + 2(-1 - c2) 2 = 2 - c2 + c2 + c3 - 2 - 2c2 2 = 0 - 2c2 + c3 c3 = 2c2 + 2 e na Equação 3:

Passo 7

Até aqui, vemos que:
c1 = 2 - c2 c4 = -1 - c2 c3 = 2c2 + 2
Como é uma variável livre, podemos escolher qualquer valor para ele e encontrar os correspondentes . Isso significa que sempre existe uma combinação linear que resulta em .

Resposta

Sim, o vetor está no subespaço .

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