Considere as seguintes três afirmativas: (I) Se o fluxo do campo elétrico através de úma superfície fechada for zero, então o campo elétrico em todos os pontos de tal superficie é zero: (II) A lei de Gauss para o campo elétrico só é válida para distribuições de carga elétrica com simetria plana, csfćrica ou cilíndrica; e (III) O campo clétrico cm um ponto sobre uma superfície fechada depende exclusivamente da carga elétrica total encerrada no interior da respectiva superfície. Qual(is) dessas afirmativas é(são) verdadeira(s)?
(a) Nenhuma delas.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Scmente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas elas.
(a) Nenhuma delas.
(b) Somente a I.
(c) Somente a II.
(d) Somente a III.
(e) Somente a I e a II.
(f) Scmente a I e a III.
(g) Somente a II e a III.
(h) Todas elas.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmativas e pede que eu diga quais são verdadeiras. As afirmativas são:
I. Se o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada for zero, então o campo elétrico em todos os pontos de tal superfície é zero.
II. A lei de Gauss para o campo elétrico só é válida para distribuições de carga elétrica com simetria plana, esférica ou cilíndrica.
III. O campo elétrico em um ponto sobre uma superfície fechada depende exclusivamente da carga elétrica total encerrada no interior da respectiva superfície.
A tarefa é identificar quais dessas afirmativas são verdadeiras (pode ser nenhuma, uma ou várias).
Passo 2
Vou recordar a forma mais básica e generalista da lei de Gauss, que é essencial para avaliar as afirmativas. A lei de Gauss, em forma integral, é:
Explicando cada parte:
-
é o campo elétrico (um vetor) em cada ponto da superfície . -
é o elemento vetorial de área da superfície ; sua direção é normal à superfície apontando para fora. - O produto escalar
mede o fluxo elemental do campo através desse pedacinho de área. - O símbolo
indica a integral sobre toda a superfície fechada . -
é a carga elétrica total contida dentro do volume limitado por . -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
Comentário didático e importante: essa equação é sempre válida (faz parte das equações de Maxwell para eletrostática). O que muda com simetria é a facilidade de calcular
ponto a ponto a partir dessa lei. A lei relaciona o fluxo total pela superfície com a carga encerrada, não dá automaticamente
em cada ponto a menos que haja motivos (simetria) que permitam simplificar a integral.
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada for zero, então o campo elétrico em todos os pontos de tal superfície é zero.”
Primeiro, traduzindo: fluxo zero significa
Isso diz apenas que a soma (integral) das contribuições de
através de toda a superfície é zero. Isto é uma quantidade global, não uma informação ponto a ponto.
Contraexemplo simples para mostrar que a afirmativa é falsa:
- Considere um campo elétrico uniforme
(constante em todo o espaço) e uma superfície fechada qualquer, por exemplo um cubo cujas faces são perpendiculares aos eixos. Nas duas faces perpendiculares ao eixo o fluxo é e , nas outras faces o fluxo é zero; somando tudo o fluxo total é zero:
No entanto, o campo
em cada ponto da superfície é
, ou seja, não é zero. Logo, fluxo zero não implica campo nulo sobre a superfície.
Outro exemplo: uma dipolo elétrico (cargas
e
) dentro de uma superfície fechada tem
, portanto fluxo total nulo, mas o campo sobre a superfície geralmente é diferente de zero.
Conclusão do passo: a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II: “A lei de Gauss para o campo elétrico só é válida para distribuições de carga elétrica com simetria plana, esférica ou cilíndrica.”
Interpretação: essa frase confunde validade da lei com aplicabilidade prática para calcular
. A lei de Gauss (a equação do Passo 2) é uma lei fundamental da eletrostática e é válida para qualquer distribuição de cargas — não apenas para distribuições simétricas.
O que é correto dizer é: quando a distribuição de cargas tem simetria planar, esférica ou cilíndrica, a lei de Gauss é especialmente útil para obter uma expressão simples para
porque nessas situações podemos escolher uma superfície gaussiana tal que
seja constante e/ou sempre normal (ou tangente) à superfície, permitindo tirar
fora da integral. Mas essa utilidade não é a mesma coisa que validade da lei.
Exemplo ilustrativo de uso conveniente (mas não de validade condicionada): para uma placa infinitamente extensa com densidade superficial
usamos Gauss para obter
. Isso mostra utilidade com simetria, não que a lei seja restrita a esse caso.
Conclusão do passo: a afirmativa II, que diz que a lei só é válida para esses casos, é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III: “O campo elétrico em um ponto sobre uma superfície fechada depende exclusivamente da carga elétrica total encerrada no interior da respectiva superfície.”
Vou separar em duas ideias para esclarecer:
- A lei de Gauss liga o fluxo total (integral) pela superfície à carga total encerrada. Ela não afirma que o valor do campo em um ponto específico da superfície depende somente dessa carga total.
- O campo em um ponto é soma vetorial das contribuições de todas as cargas (interiores e exteriores) pelo princípio da superposição. Cargas fora da superfície podem alterar
em pontos sobre a superfície sem mudar .
Contraexemplo direto: tome uma superfície esférica
e duas situações distintas com o mesmo
:
- Uma carga puntual
no centro da esfera. - A mesma carga total
concentrada em um ponto deslocado do centro (ou várias cargas internas distribuídas de modo não simétrico).
Em geral, o campo num ponto específico sobre a superfície será diferente nas duas situações, porque a distribuição interna importa para o campo local. Além disso, se colocarmos uma carga fora da esfera (mesmo sem alterar), o campo em pontos da superfície muda, embora permaneça o mesmo.
Portanto a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Resumo das análises e conclusão lógica:
- I é falsa (fluxo zero não implica
em cada ponto; o fluxo é uma integral). - II é falsa (a lei de Gauss é universal; a simetria apenas facilita cálculos).
- III é falsa (campo em um ponto depende da distribuição detalhada e também de cargas externas;
controla o fluxo total, não o campo local exclusivamente).
Logo nenhuma das três afirmativas é verdadeira.
Resposta
(a) Nenhuma delas.