Ache o ângulo entre cada par de vetores:
e
e
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras e pede uma coisa. Vou listar exatamente isso para não nos perdermos:
- Vetor
. - Vetor
. - Pergunta: encontrar o ângulo entre
e .
Passo 2
Vamos traduzir os vetores em componentes (isso deixa tudo mais direto na conta):
- A componente
de é e a componente é . - A componente
de é e a componente é .
Explicando por que isso é útil: para achar o ângulo entre vetores em plano usamos produto escalar e normas — trabalhar com componentes torna essas operações simples.
Passo 3
Relembre a fórmula do produto escalar (dot product) entre dois vetores em coordenadas cartesiana:
Aqui,
e
são as componentes de
e
as de
. O produto escalar dá um número (escalar).
Vamos calcular:
Passo 4
Agora precisamos das normas (comprimentos) dos vetores. A fórmula da norma de um vetor
é
Explicando: vem do teorema de Pitágoras aplicado às componentes.
Calculemos cada norma:
Se quisermos aproximações numéricas (úteis para obter o ângulo):
Passo 5
Fórmula que relaciona produto escalar, normas e o ângulo
entre vetores:
Aqui
é o ângulo coberto entre os dois vetores (entre
e
) e
é o cosseno desse ângulo.
Isolando
:
Substituindo os valores que já calculamos (vou também mostrar uma forma exata):
Observação algébrica:
(dividindo numerador e denominador por
) — essa é a forma exata.
Usando aproximações numéricas:
Passo 6
Precisamos do ângulo
. Aplicamos a função arco cosseno:
Usando a aproximação anterior:
Para interpretar o resultado em graus (que é o mais comum na prova), lembramos que para converter radianos para graus multiplicamos por
. Aqui usamos uma calculadora mental aproximada ou uma tabela trigonométrica para obter o valor numérico:
Se você preferir em radianos:
Pequeno lembrete prático para prova: se o cosseno der negativo a gente já sabe que o ângulo é maior que
. Aqui deu
, bem negativo, indicando um ângulo obtuso (perto de
).