Ache o ângulo entre cada par de vetores:
\overrightarrow{\boldsymbol{A}}=-2,00 \hat{\imath}+6,00 \hat{\jmath}
e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=2,00 \hat{\imath}-3,00 \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras e pede uma coisa. Vou listar exatamente isso para não nos perdermos:
  • Vetor \overrightarrow{\boldsymbol{A}} = -2,00\hat{\imath} + 6,00\hat{\jmath}.
  • Vetor \overrightarrow{\boldsymbol{B}} = 2,00\hat{\imath} - 3,00\hat{\jmath}.
  • Pergunta: encontrar o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.

Passo 2

Vamos traduzir os vetores em componentes (isso deixa tudo mais direto na conta):
  • A componente x de \overrightarrow{\boldsymbol{A}} é A_x = -2,00 e a componente y é A_y = 6,00.
  • A componente x de \overrightarrow{\boldsymbol{B}} é B_x = 2,00 e a componente y é B_y = -3,00.
Explicando por que isso é útil: para achar o ângulo entre vetores em plano usamos produto escalar e normas — trabalhar com componentes torna essas operações simples.

Passo 3

Relembre a fórmula do produto escalar (dot product) entre dois vetores em coordenadas cartesiana:
\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{B}} = A_x B_x + A_y B_y.
Aqui, A_x e A_y são as componentes de \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e B_x, B_y as de \overrightarrow{\boldsymbol{B}}. O produto escalar dá um número (escalar).
Vamos calcular:
\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{B}} = (-2,00)(2,00) + (6,00)(-3,00) = -4,00 - 18,00 = -22,00.

Passo 4

Agora precisamos das normas (comprimentos) dos vetores. A fórmula da norma de um vetor \overrightarrow{\boldsymbol{V}} = (V_x,V_y) é
\|\overrightarrow{\boldsymbol{V}}\| = \sqrt{V_x^{2} + V_y^{2}}.
Explicando: vem do teorema de Pitágoras aplicado às componentes.
Calculemos cada norma:
\|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\| = \sqrt{(-2,00)^{2} + (6,00)^{2}} = \sqrt{4,00 + 36,00} = \sqrt{40,00}.
\|\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\| = \sqrt{(2,00)^{2} + (-3,00)^{2}} = \sqrt{4,00 + 9,00} = \sqrt{13,00}.
Se quisermos aproximações numéricas (úteis para obter o ângulo):
\sqrt{40,00} \approx 6,3249,\qquad \sqrt{13,00} \approx 3,6056.

Passo 5

Fórmula que relaciona produto escalar, normas e o ângulo \theta entre vetores:
\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{B}} = \|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\| \,\|\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\| \cos\theta.
Aqui \theta é o ângulo coberto entre os dois vetores (entre 0 e \pi) e \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Isolando \cos\theta:
\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{B}}}{\|\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\| \,\|\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\|}.
Substituindo os valores que já calculamos (vou também mostrar uma forma exata):
\cos\theta = \dfrac{-22,00}{\sqrt{40,00}\,\sqrt{13,00}} = \dfrac{-22,00}{\sqrt{520,00}}.
Observação algébrica: \dfrac{-22}{\sqrt{520}} = -\dfrac{11}{\sqrt{130}} (dividindo numerador e denominador por 2) — essa é a forma exata.
Usando aproximações numéricas:
\cos\theta \approx \dfrac{-22,00}{6,3249\cdot 3,6056} \approx \dfrac{-22,00}{22,8035} \approx -0,9643.

Passo 6

Precisamos do ângulo \theta. Aplicamos a função arco cosseno:
\theta = \operatorname{arccos}\!\big(\cos\theta\big) = \operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{11}{\sqrt{130}}\right).
Usando a aproximação anterior:
\theta \approx \operatorname{arccos}(-0,9643).
Para interpretar o resultado em graus (que é o mais comum na prova), lembramos que para converter radianos para graus multiplicamos por 180^\circ/\pi. Aqui usamos uma calculadora mental aproximada ou uma tabela trigonométrica para obter o valor numérico:
\theta \approx 164,8^\circ.
Se você preferir em radianos:
\theta \approx 2,876\\ \text{rad}.
Pequeno lembrete prático para prova: se o cosseno der negativo a gente já sabe que o ângulo é maior que 90^\circ. Aqui deu -0,9643, bem negativo, indicando um ângulo obtuso (perto de 180^\circ).

Resposta

\theta \approx 164,8^\circ ( \approx 2,876\\ \text{rad})

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