Um resistor ôhmico (externo) possui resistência variável R e esţá conectado a una bateria de 40 V que possui resistência ôhmica interna, fixa, de 3 \Omega. Determine os dois valores possíveis de R para os quais a potência dissipada no resistor externo seja 100 W .
(a) 2 \Omega e 10 \Omega.
(b) 2 \Omega e 9 \Omega.
(c) 4 \Omega e 10 \Omega.
(d) 4 \Omega e 8 \Omega.
(e) 1 \Omega e 9 \Omega.
(f) 1 \Omega e 8 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá uma bateria com fem 40\\ \text{V} e resistência interna fixa 3\\ \Omega. Há um resistor externo, de resistência variável R, ligado em série com a bateria. Pede-se os dois valores de R tais que a potência dissipada no resistor externo seja 100\\ \text{W}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: E=40\\ \text{V}, resistência interna r=3\\ \Omega, resistência externa R (variável) e potência desejada em R: P=100\\ \text{W}. A pergunta é: quais são os valores de R que satisfazem isso?

Passo 2

Conceito essencial — corrente num circuito série com resistência interna: a corrente I que percorre o circuito é dada pela lei de Ohm para a fonte com resistência interna, ou seja
I=\frac{E}{R+r}.
Aqui E é a fem da bateria (em volts), R é a resistência externa (em ohms) e r é a resistência interna (em ohms). Essa fórmula vem do fato de que as resistências R e r estão em série, então a resistência total é R+r e a corrente é tensão dividida por resistência total.

Passo 3

Conceito essencial — potência dissipada em um resistor: a potência elétrica dissipada por um resistor R quando passa corrente I é
P=I^{2}R.
Aqui P é em watts, I em ampères e R em ohms. Vamos combinar essa fórmula com a expressão de I do passo anterior para obter P em função de R.

Passo 4

Substituindo I=\dfrac{E}{R+r} em P=I^{2}R obtemos
P=\left(\frac{E}{R+r}\right)^{2}R=\frac{E^{2}\,R}{(R+r)^{2}}.
Agora substituímos os valores numéricos E=40 e r=3 e impomos P=100:
\frac{40^{2}\,R}{(R+3)^{2}}=100.
Calcule 40^{2}=1600, então a equação fica
\frac{1600\,R}{(R+3)^{2}}=100.

Passo 5

Simplificamos a equação dividindo ambos os lados por 100:
\frac{16\,R}{(R+3)^{2}}=1.
Multiplicando ambos os lados por (R+3)^{2}
16R=(R+3)^{2}.
Expandindo o quadrado do lado direito:
16R=R^{2}+6R+9.
Passando todos os termos para um lado:
0=R^{2}+6R+9-16R=R^{2}-10R+9.
Portanto precisamos resolver a equação quadrática
R^{2}-10R+9=0.

Passo 6

Resolvendo a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (ou fatorando): primeiro o discriminante
\Delta=b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot9 =100-36=64.
A raiz quadrada é \sqrt{\Delta}=8. As raízes são
R=\frac{10\pm8}{2}.
Logo as duas soluções são
R_{1}=\frac{10+8}{2}=\frac{18}{2}=9
e
R_{2}=\frac{10-8}{2}=\frac{2}{2}=1.
Assim R=9\\ \Omega e R=1\\ \Omega.

Passo 7

Verificação rápida (para ter certeza, e para você poder mostrar no exame):
Para R=1\\ \Omega: I=\dfrac{40}{1+3}=\dfrac{40}{4}=10\\ \text{A}. Então P=I^{2}R=10^{2}\cdot1=100\\ \text{W}.
Para R=9\\ \Omega: I=\dfrac{40}{9+3}=\dfrac{40}{12}=\dfrac{10}{3}\\ \text{A}. Então
P=I^{2}R=\left(\frac{10}{3}\right)^{2}\cdot9=\frac{100}{9}\cdot9=100\\ \text{W}.
Confere!

Resposta

(e) 1\\ \Omega e 9\\ \Omega

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