Considere os seguintes valores:
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
Passo 1
O enunciado fornece os pares
e
para
:
]
As informações relevantes que vamos usar são essas e o que devemos calcular: o somatório
Passo 2
Observação útil (tirada dos valores dados): para cada
temos
e
(veja que isso é verdade para
conferindo os números da tabela). Então primeiro calculemos
:
Isto é, dividir
por
nos dá simplesmente
.
Passo 3
Agora calculemos a diferença dentro do somatório:
Para ficar mais claro: para
isso dá
, para
dá
, etc. Não pule etapas: subtraímos termo a termo e simplificamos.
Passo 4
Elevando ao quadrado, obtemos
Então o somatório pedido vira
Passo 5
Fazemos uma mudança de índice para simplificar: seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Como
, isto é igual a
Agora precisamos somar os quadrados dos inteiros de
a
.
Passo 6
Usamos a fórmula conhecida (e muito útil em provas) para a soma dos quadrados dos primeiros
inteiros:
onde
é o último inteiro somado. Explicando a fórmula: ela dá uma expressão fechada (sem precisar somar termo a termo) —
aparece porque estamos somando até
,
e
surgem da dedução algébrica da soma de quadrados; o denominador
normaliza o produto (não precisa memorizar a prova agora, o importante é saber aplicar com cuidado).
Aqui temos
. Aplicando a fórmula:
Passo 7
Agora fazemos a conta passo a passo (sem calculadora): calcule o produto do numerador e divida por
.
Como verificação rápida, somando termo a termo:
, bate certinho.