Considere os seguintes valores:
\begin{array}{cccccccc} X_{1}=2 & X_{2}=4 & X_{3}=6 & X_{4}=8 & X_{5}=10 & X_{6}=12 & X_{7}=14 & X_{8}=16 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=3 & Y_{3}=5 & Y_{4}=7 & Y_{5}=9 & Y_{6}=11 & Y_{7}=13 & Y_{8}=15 \end{array}
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
\sum_{i=1}^{8}\left(\frac{X_{i}}{2}-Y_{i}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado fornece os pares X_{i} e Y_{i} para i=1,\dots,8:
\begin{array}{cccccccc} X_{1}=2 & X_{2}=4 & X_{3}=6 & X_{4}=8 & X_{5}=10 & X_{6}=12 & X_{7}=14 & X_{8}=16 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=3 & Y_{3}=5 & Y_{4}=7 & Y_{5}=9 & Y_{6}=11 & Y_{7}=13 & Y_{8}=15
]
As informações relevantes que vamos usar são essas e o que devemos calcular: o somatório
\sum_{i=1}^{8}\left(\frac{X_{i}}{2}-Y_{i}\right)^{2}.

Passo 2

Observação útil (tirada dos valores dados): para cada i temos X_{i}=2i e Y_{i}=2i-1 (veja que isso é verdade para i=1,\dots,8 conferindo os números da tabela). Então primeiro calculemos \frac{X_{i}}{2}:
\frac{X_{i}}{2}=\frac{2i}{2}=i.
Isto é, dividir X_{i} por 2 nos dá simplesmente i.

Passo 3

Agora calculemos a diferença dentro do somatório:
\frac{X_{i}}{2}-Y_{i}=i-(2i-1)=i-2i+1=1-i.
Para ficar mais claro: para i=1 isso dá 1-1=0, para i=2 1-2=-1, etc. Não pule etapas: subtraímos termo a termo e simplificamos.

Passo 4

Elevando ao quadrado, obtemos
\left(\frac{X_{i}}{2}-Y_{i}\right)^{2}=(1-i)^{2}=(i-1)^{2}.
Então o somatório pedido vira
\sum_{i=1}^{8}\left(\frac{X_{i}}{2}-Y_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{8}(i-1)^{2}.

Passo 5

Fazemos uma mudança de índice para simplificar: seja k=i-1. Quando i=1 temos k=0; quando i=8 temos k=7. Assim
\sum_{i=1}^{8}(i-1)^{2}=\sum_{k=0}^{7}k^{2}.
Como 0^{2}=0, isto é igual a
\sum_{k=1}^{7}k^{2}.
Agora precisamos somar os quadrados dos inteiros de 1 a 7.

Passo 6

Usamos a fórmula conhecida (e muito útil em provas) para a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
onde n é o último inteiro somado. Explicando a fórmula: ela dá uma expressão fechada (sem precisar somar termo a termo) — n aparece porque estamos somando até n, n+1 e 2n+1 surgem da dedução algébrica da soma de quadrados; o denominador 6 normaliza o produto (não precisa memorizar a prova agora, o importante é saber aplicar com cuidado).
Aqui temos n=7. Aplicando a fórmula:
\sum_{k=1}^{7}k^{2}=\frac{7\cdot 8\cdot 15}{6}.

Passo 7

Agora fazemos a conta passo a passo (sem calculadora): calcule o produto do numerador e divida por 6.
7\cdot 8=56,
56\cdot 15=56\cdot(10+5)=560+280=840,
\frac{840}{6}=140.
Como verificação rápida, somando termo a termo: 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}=1+4+9+16+25+36+49=140, bate certinho.

Resposta

140

Exercícios relacionados