Considere os seguintes valores:
\begin{array}{cccccccc} X_{1}=2 & X_{2}=4 & X_{3}=6 & X_{4}=8 & X_{5}=10 & X_{6}=12 & X_{7}=14 & X_{8}=16 \\\ Y_{1}=1 & Y_{2}=3 & Y_{3}=5 & Y_{4}=7 & Y_{5}=9 & Y_{6}=11 & Y_{7}=13 & Y_{8}=15 \end{array}
Calcule os seguintes somatórios e produtórios:
\sqrt{\prod_{i=1}^{4} X_{i}}

Passo 1

O enunciado pede especificamente o valor de \sqrt{\prod_{i=1}^{4} X_{i}}. As informações relevantes dadas pelo enunciado (peguei diretamente dos valores fornecidos) são:
X_{1}=2,\quad X_{2}=4,\quad X_{3}=6,\quad X_{4}=8.
A única operação solicitada é calcular a raiz quadrada do produto dos quatro primeiros X_{i}.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa o somatório/produtório pedido. O símbolo \displaystyle \prod_{i=1}^{4} X_{i} significa multiplicar todos os termos X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}:
\prod_{i=1}^{4} X_{i}=X_{1}\cdot X_{2}\cdot X_{3}\cdot X_{4}.
Ou seja, precisamos calcular 2\cdot4\cdot6\cdot8 e depois tirar a raiz quadrada desse resultado.

Passo 3

Calculemos o produto passo a passo (faça assim na prova: multiplicações simples, uma a uma).
Primeiro:
2\cdot4=8.

Passo 4

Agora multiplica o resultado por X_{3}:
8\cdot6=48.

Passo 5

Por fim multiplica por X_{4}:
48\cdot8=384.
Portanto:
\prod_{i=1}^{4} X_{i}=384.

Passo 6

Agora precisamos calcular \sqrt{384}. Uma boa técnica para simplificar raízes é fatorar o número em fatores e extrair quadrados perfeitos. Vamos escrever 384 como produto onde aparece um quadrado perfeito. Observando, 384=64\cdot6 porque 64\cdot6=384. Repare que 64 é um quadrado perfeito ( 64=8^{2}).

Passo 7

Usamos a propriedade da raiz quadrada \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}. Aplicando com a=64 e b=6:
\sqrt{384}=\sqrt{64\cdot6}=\sqrt{64}\cdot\sqrt{6}=8\sqrt{6}.
Se quiser uma ideia numérica, 8\sqrt{6}\approx 8\cdot2{,}44949\approx19{,}5959, mas a forma exata simplificada é 8\sqrt{6}.

Resposta

8\sqrt{6}

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