Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores:
X=\{5,2,3,0,1,2,6,9,4,8\}, n=10
Calcule:
\frac{\sum_{i=1}^{10} X_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{10} X_{i}\right)^{2}}{10}}{10-1}

Passo 1

O enunciado dá os valores da variável X e o tamanho da amostra n:
X=\{5,2,3,0,1,2,6,9,4,8\},\quad n=10
E pede para calcular a expressão
\frac{\sum_{i=1}^{10} X_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{10} X_{i}\right)^{2}}{10}}{10-1}.

Passo 2

Primeiro vamos somar os valores para obter \sum_{i=1}^{10} X_i. Somando um a um:
5+2+3+0+1+2+6+9+4+8 = 40.
Logo
\sum_{i=1}^{10} X_i = 40.

Passo 3

Agora calculamos cada quadrado e somamos para obter \sum_{i=1}^{10} X_i^2. Os quadrados são:
5^2=25,\; 2^2=4,\; 3^2=9,\; 0^2=0,\; 1^2=1,\; 2^2=4,\; 6^2=36,\; 9^2=81,\; 4^2=16,\; 8^2=64.
Somando:
25+4+9+0+1+4+36+81+16+64 = 240.
Portanto
\sum_{i=1}^{10} X_i^2 = 240.

Passo 4

Vamos entender a expressão que estamos calculando. Defina a média amostral
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.
Uma identidade útil é
\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2.
Como n\bar{X}=\sum_{i=1}^n X_i, podemos reescrever
\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \sum_{i=1}^n X_i^2 - \frac{\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2}{n}.
A expressão pedida é justamente essa soma dos quadrados dos desvios dividida por n-1:
\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-\frac{\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)^{2}}{n}}{n-1}.
Ou seja, o numerador é a soma dos quadrados dos desvios em relação à média e o denominador é n-1.

Passo 5

Substituímos os valores que calculamos: \sum X_i^2=240, \sum X_i=40 e n=10. Calculamos o numerador:
240-\frac{(40)^2}{10} = 240-\frac{1600}{10} = 240-160 = 80.

Passo 6

Agora dividimos pelo denominador n-1=9:
\frac{80}{9}.
Se quisermos ver como fica em decimal, fazemos a divisão por mão: 9 cabe 8 vezes em 80 (pois 9\cdot 8=72), sobra 8 e o processo se repete, gerando a dízima periódica 8,888\ldots. Assim:
\frac{80}{9} = 8,888\ldots = 8,\overline{8}.

Resposta

\dfrac{80}{9}
8,\overline{8}

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