Considere os seguintes vetores:
\begin{aligned} & \vec{a}=(4,2 \mathrm{~m}) \hat{i}-(1,5 \mathrm{~m}) \hat{j}, \\\ & \vec{b}=(-1,6 \mathrm{~m}) \hat{i}+(2,9 \mathrm{~m}) \hat{j}, \\\ & \vec{c}=(-3,9 \mathrm{~m}) \hat{j} . \end{aligned}
a) Determine a soma do vetor \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}, o módulo e o ângulo formado entre o vetor \vec{r} e a direção x.
b) Represente o vetor \vec{r}=r_{x} \hat{i}+r_{y} \hat{j} no plano x y.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores (os números usam vírgula decimal):
\vec{a}=(4,2\\ \text{m})\hat{i}-(1,5\\ \text{m})\hat{j}, \qquad \vec{b}=(-1,6\\ \text{m})\hat{i}+(2,9\\ \text{m})\hat{j}, \qquad \vec{c}= ( -3,9\\ \text{m})\hat{j}.
O que foi pedido:
(a) determinar a soma \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}, o módulo |\vec{r}| e o ângulo formado entre \vec{r} e a direção x (eixo x);
(b) representar \vec{r}=r_x\hat{i}+r_y\hat{j} no plano xy.

Passo 2

Escolha do método (resumido): somar vetores componente a componente, porque os vetores estão dados em componentes \hat{i} e \hat{j}. Depois usar a fórmula do módulo de um vetor no plano e a função arco-tangente para achar o ângulo. Vou explicar cada fórmula antes de aplicar.
  • Soma componente a componente: se \vec{u}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j} e \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}, então \vec{u}+\vec{v}=(u_x+v_x)\hat{i}+(u_y+v_y)\hat{j}. Aqui somamos cada coordenada separadamente.
  • Módulo de um vetor no plano: para \vec{r}=r_x\hat{i}+r_y\hat{j},
|\vec{r}|=\sqrt{r_x^{2}+r_y^{2}}.
Isto vem do Teorema de Pitágoras: o vetor forma a hipotenusa de um triângulo de catetos r_x e r_y.
  • Ângulo com o eixo x: se r_x\neq0, a tangente do ângulo \theta entre \vec{r} e o eixo x (medido a partir do eixo x positivo, sentido anti-horário positivo) é
\tan\theta=\frac{r_y}{r_x}.
Logo \theta=\arctan\!\left(\dfrac{r_y}{r_x}\right), mas é preciso observar o sinal de r_x e r_y para escolher o quadrante correto (arctan comum dá um valor entre -90^\circ e 90^\circ).

Passo 3

Identificar as componentes de cada vetor (extraídas do enunciado):
a_x=4,2\\ \text{m},\quad a_y=-1,5\\ \text{m},
b_x=-1,6\\ \text{m},\quad b_y=2,9\\ \text{m},
c_x=0\\ \text{m},\quad c_y=-3,9\\ \text{m}.

Passo 4

Somar as componentes para achar \vec{r}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}.
Calcular r_x:
r_x=a_x+b_x+c_x=4,2+(-1,6)+0=4,2-1,6=2,6\\ \text{m}.
Calcular r_y:
r_y=a_y+b_y+c_y=-1,5+2,9+(-3,9).
Fazendo as somas em ordem:
-1,5+2,9=1,4,\qquad 1,4-3,9=-2,5\\ \text{m}.
Portanto
\vec{r}=2,6\\ \hat{i}-2,5\\ \hat{j}.

Passo 5

Calcular o módulo usando a fórmula do Passo 2:
|\vec{r}|=\sqrt{r_x^{2}+r_y^{2}}=\sqrt{2,6^{2}+(-2,5)^{2}}.
Calcular os quadrados:
2,6^{2}=6,76,\qquad (-2,5)^{2}=6,25.
Somando:
6,76+6,25=13,01.
Logo
|\vec{r}|=\sqrt{13,01}\approx3,6055\\ \text{m}.
Arredondando com duas casas decimais (prática comum em física/engenharia):
|\vec{r}|\approx3,61\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular o ângulo \theta entre \vec{r} e a direção x.
Usar
\theta=\arctan\!\left(\frac{r_y}{r_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-2,5}{2,6}\right)=\arctan(-0,961538\ldots).
A calculadora dá aproximadamente
\theta\approx-43,7^\circ.
Interpretação do sinal: \theta<0 significa que o vetor está abaixo do eixo x positivo; em palavras: o vetor forma um ângulo de 43,7^\circ abaixo do eixo x (ou, se preferir um ângulo positivo entre 0^\circ e 360^\circ, \theta=360^\circ-43,7^\circ=316,3^\circ).
Também em radianos:
\theta\approx-0,763\\ \text{rad}.

Passo 7

Como representar \vec{r} no plano xy (parte b) — instrução prática para desenhar:
  • Em um papel trace os eixos x e y perpendiculares; marque unidades em metros.
  • A partir da origem desenhe primeiro um segmento horizontal de 2,6\\ \text{m} para a direita (isso é a projeção r_x).
  • Do ponto alcançado desça 2,5\\ \text{m} (porque r_y=-2,5\\ \text{m}) para chegar ao ponto final P(r_x,r_y)=(2,6,\,-2,5)\\ \text{m}.
  • Desenhe uma seta do ponto origem até P; essa seta é o vetor \vec{r}.
  • Opcional: desenhe o triângulo retângulo formado pelas projeções para visualizar que o comprimento da seta é |\vec{r}| e o ângulo entre a seta e o eixo x é -43,7^\circ (abaixo do eixo).

Resposta

(a) \vec{r}=2,6\\ \hat{i}-2,5\\ \hat{j},\quad |\vec{r}|=3,61\\ \text{m},\quad \theta=-43,7^\circ (ou 43,7^\circ abaixo do eixo x; \theta\approx-0,763\\ \text{rad}).
(b) No plano xy, \vec{r}=2,6\\ \hat{i}-2,5\\ \hat{j}; aponta da origem para o ponto (2,6,\,-2,5)\\ \text{m}.

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