Considere os seguintes vetores:
a) Determine a soma do vetor
, o módulo e o ângulo formado entre o vetor
e a direção
.
b) Represente o vetor
no plano
.
b) Represente o vetor
Passo 1
O enunciado fornece três vetores (os números usam vírgula decimal):
O que foi pedido:
(a) determinar a soma , o módulo
e o ângulo formado entre
e a direção
(eixo
);
(b) representar no plano
.
(a) determinar a soma
(b) representar
Passo 2
Escolha do método (resumido): somar vetores componente a componente, porque os vetores estão dados em componentes
e
. Depois usar a fórmula do módulo de um vetor no plano e a função arco-tangente para achar o ângulo. Vou explicar cada fórmula antes de aplicar.
- Soma componente a componente: se
e , então . Aqui somamos cada coordenada separadamente. - Módulo de um vetor no plano: para
,
Isto vem do Teorema de Pitágoras: o vetor forma a hipotenusa de um triângulo de catetos
e
.
- Ângulo com o eixo
: se , a tangente do ângulo entre e o eixo (medido a partir do eixo positivo, sentido anti-horário positivo) é
Logo
, mas é preciso observar o sinal de
e
para escolher o quadrante correto (arctan comum dá um valor entre
e
).
Passo 3
Identificar as componentes de cada vetor (extraídas do enunciado):
Passo 4
Somar as componentes para achar
.
Calcular
:
Calcular
:
Fazendo as somas em ordem:
Portanto
Passo 5
Calcular o módulo usando a fórmula do Passo 2:
Calcular os quadrados:
Somando:
Logo
Arredondando com duas casas decimais (prática comum em física/engenharia):
Passo 6
Calcular o ângulo
entre
e a direção
.
Usar
A calculadora dá aproximadamente
Interpretação do sinal:
significa que o vetor está abaixo do eixo
positivo; em palavras: o vetor forma um ângulo de
abaixo do eixo
(ou, se preferir um ângulo positivo entre
e
,
).
Também em radianos:
Passo 7
Como representar
no plano
(parte b) — instrução prática para desenhar:
- Em um papel trace os eixos
e perpendiculares; marque unidades em metros. - A partir da origem desenhe primeiro um segmento horizontal de
para a direita (isso é a projeção ). - Do ponto alcançado desça
(porque ) para chegar ao ponto final . - Desenhe uma seta do ponto origem até
; essa seta é o vetor . - Opcional: desenhe o triângulo retângulo formado pelas projeções para visualizar que o comprimento da seta é
e o ângulo entre a seta e o eixo é (abaixo do eixo).
Resposta
(a)
(ou
abaixo do eixo
;
).
(b) No plano ,
; aponta da origem para o ponto
.
(b) No plano