Três vetores são dados por \vec{a}= 3 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}, \vec{b}=-1 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k} e \vec{c}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-1 \hat{k}.
Determine:
b) \vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c});

Passo 1

O enunciado dá três vetores (peguei estes números do enunciado):
  • \vec{a}=3\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}
  • \vec{b}=-1\hat{i}-4\hat{j}+2\hat{k}
  • \vec{c}=2\hat{i}+2\hat{j}-1\hat{k}
O que o item (b) pede: calcular \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c}).

Passo 2

O que é o produto escalar (dot product) entre dois vetores em coordenadas?
Se \vec{u}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}+u_z\hat{k} e \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}, então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Isto é, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos. Essa operação dá um número (um escalar). Outra propriedade útil é a distributividade:
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}.
Vou usar a definição componente a componente (e depois mostrar a verificação pela distributividade).

Passo 3

Calcular primeiro \vec{b}+\vec{c} componente a componente (peguei as componentes de \vec{b} e \vec{c} no enunciado):
\vec{b}+\vec{c}=(-1+2)\hat{i}+(-4+2)\hat{j}+(2-1)\hat{k}=1\hat{i}-2\hat{j}+1\hat{k}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do produto escalar entre \vec{a} e \vec{b}+\vec{c}. Usando as componentes:
\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})= (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(1).
Faço as multiplicações e somas passo a passo:
(3)(1)=3,\qquad (3)(-2)=-6,\qquad (-2)(1)=-2,
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\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=3-6-2.
3-6-2=-5.

Passo 5

Verificação alternativa (usando distributividade): calculo \vec{a}\cdot\vec{b} e \vec{a}\cdot\vec{c} separadamente (pegando as componentes do enunciado) e somo:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3(-1)+3(-4)+(-2)(2)=-3-12-4=-19,
\vec{a}\cdot\vec{c}=3(2)+3(2)+(-2)(-1)=6+6+2=14.
Somando,
\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}=-19+14=-5,
que confirma o resultado obtido no Passo 4.

Resposta

-5

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