Considere os vetores \vec{a}=1,0 \hat{i}+ 2,0 \hat{j}+3,0 \hat{k}, \vec{b}=3,0 \hat{i}+1,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} e \vec{c}= 2,0 \hat{i}+4,0 \hat{j}-5,0 \hat{k}. Pede-se:
o produto misto de vetores \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c});

Passo 1

O enunciado dá três vetores; vou listar claramente os dados e o que se pede (peguei os números do enunciado):
  • \vec{a} = 1,0\hat{i} + 2,0\hat{j} + 3,0\hat{k}.
  • \vec{b} = 3,0\hat{i} + 1,0\hat{j} + 2,0\hat{k}.
  • \vec{c} = 2,0\hat{i} + 4,0\hat{j} - 5,0\hat{k}.
O que se pede:
  • Calcular o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).

Passo 2

Conceito e fórmula chave (aula rápida): o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é um número (escalar) que também pode ser calculado como o determinante da matriz que tem as componentes de \vec{a},\vec{b},\vec{c} como linhas (ou colunas). Em notação:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = \det\begin{pmatrix} a_x & a_y & a_z\\[4pt] b_x & b_y & b_z\\[4pt] c_x & c_y & c_z \end{pmatrix},
onde a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a}, etc. Essa identidade vem da relação entre determinantes e produto vetorial; é prática porque evita calcular o produto vetorial primeiro se soubermos computar determinantes.]

Passo 3

Vou montar a matriz com as componentes dos vetores (peguei as componentes diretamente do enunciado):
\begin{pmatrix} 1,0 & 2,0 & 3,0\\[4pt] 3,0 & 1,0 & 2,0\\[4pt] 2,0 & 4,0 & -5,0 \end{pmatrix}.
Observação: coloquei as componentes de \vec{a} na primeira linha, de \vec{b} na segunda e de \vec{c} na terceira, conforme a fórmula do determinante acima.]

Passo 4

Método de cálculo do determinante (explicação didática): vou usar a regra de Sarrus (válida para matrizes 3\times3), que diz:
  • Some os produtos das três diagonais principais (da esquerda superior para a direita inferior).
  • Subtraia a soma dos produtos das três diagonais secundárias (da direita superior para a esquerda inferior).
    Escrevendo em termos dos elementos a_{ij} da matriz 3\times3:
\det = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).

Passo 5

Aplicando a regra de Sarrus com os números da matriz (vou calcular cada produto separadamente para você poder seguir passo a passo):
Identifico os elementos:
a_{11}=1,0,\; a_{12}=2,0,\; a_{13}=3,0,
a_{21}=3,0,\; a_{22}=1,0,\; a_{23}=2,0,
a_{31}=2,0,\; a_{32}=4,0,\; a_{33}=-5,0.
Produtos das diagonais principais:
a_{11}a_{22}a_{33} = 1,0\cdot1,0\cdot(-5,0) = -5,0,
a_{12}a_{23}a_{31} = 2,0\cdot2,0\cdot2,0 = 8,0,
a_{13}a_{21}a_{32} = 3,0\cdot3,0\cdot4,0 = 36,0.
Soma das principais: -5,0 + 8,0 + 36,0 = 39,0.
Produtos das diagonais secundárias:
a_{13}a_{22}a_{31} = 3,0\cdot1,0\cdot2,0 = 6,0,
a_{11}a_{23}a_{32} = 1,0\cdot2,0\cdot4,0 = 8,0,
a_{12}a_{21}a_{33} = 2,0\cdot3,0\cdot(-5,0) = -30,0.
Soma das secundárias: 6,0 + 8,0 + (-30,0) = -16,0.
Agora o determinante é:
\det = 39,0 - (-16,0) = 39,0 + 16,0 = 55,0.

Passo 6

Interpretação e confirmação (cheque rápido, estilo seguro na prova): isso significa que
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 55,0.
Se quiser confirmar por outro caminho, pode calcular \vec{b}\times\vec{c} componente a componente e depois o produto escalar com \vec{a}; esse cálculo dá o mesmo resultado (verificação rápida: \vec{b}\times\vec{c}=(-13,0,\;19,0,\;10,0) e \vec{a}\cdot(-13,0,19,0,10,0)=1,0(-13,0)+2,0(19,0)+3,0(10,0)=55,0). Isso reforça que o determinante foi calculado corretamente.

Resposta

55,0

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