Considere os vetores \vec{a}=1,0 \hat{i}+ 2,0 \hat{j}+3,0 \hat{k}, \vec{b}=3,0 \hat{i}+1,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} e \vec{c}= 2,0 \hat{i}+4,0 \hat{j}-5,0 \hat{k}. Pede-se:
o produto misto de vetores \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c});
Passo 1
O enunciado dá três vetores; vou listar claramente os dados e o que se pede (peguei os números do enunciado):
\vec{a} = 1,0\hat{i} + 2,0\hat{j} + 3,0\hat{k}.
\vec{b} = 3,0\hat{i} + 1,0\hat{j} + 2,0\hat{k}.
\vec{c} = 2,0\hat{i} + 4,0\hat{j} - 5,0\hat{k}.
O que se pede:
Calcular o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).
Passo 2
Conceito e fórmula chave (aula rápida): o produto misto \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) é um número (escalar) que também pode ser calculado como o determinante da matriz que tem as componentes de \vec{a},\vec{b},\vec{c} como linhas (ou colunas). Em notação:
onde a_x,a_y,a_z são as componentes de \vec{a}, etc. Essa identidade vem da relação entre determinantes e produto vetorial; é prática porque evita calcular o produto vetorial primeiro se soubermos computar determinantes.]
Passo 3
Vou montar a matriz com as componentes dos vetores (peguei as componentes diretamente do enunciado):
Observação: coloquei as componentes de \vec{a} na primeira linha, de \vec{b} na segunda e de \vec{c} na terceira, conforme a fórmula do determinante acima.]
Passo 4
Método de cálculo do determinante (explicação didática): vou usar a regra de Sarrus (válida para matrizes 3\times3), que diz:
Some os produtos das três diagonais principais (da esquerda superior para a direita inferior).
Subtraia a soma dos produtos das três diagonais secundárias (da direita superior para a esquerda inferior).
Escrevendo em termos dos elementos a_{ij} da matriz 3\times3:
Soma das secundárias: 6,0 + 8,0 + (-30,0) = -16,0.
Agora o determinante é:
\det = 39,0 - (-16,0) = 39,0 + 16,0 = 55,0.
Passo 6
Interpretação e confirmação (cheque rápido, estilo seguro na prova): isso significa que
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) = 55,0.
Se quiser confirmar por outro caminho, pode calcular \vec{b}\times\vec{c} componente a componente e depois o produto escalar com \vec{a}; esse cálculo dá o mesmo resultado (verificação rápida: \vec{b}\times\vec{c}=(-13,0,\;19,0,\;10,0) e \vec{a}\cdot(-13,0,19,0,10,0)=1,0(-13,0)+2,0(19,0)+3,0(10,0)=55,0). Isso reforça que o determinante foi calculado corretamente.