Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
4485523340357
3. O valor de lambda para o qual a função log L(lambda mid x) atinge o seu máximo, é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão pede para gente encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro lambda para uma distribuição de Poisson, baseada numa amostra de tamanho 13. Depois, tem que calcular o valor de lambda que faz essa função alcançar o máximo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de Poisson e como trabalhar com funções de verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = xi) = e^-lambda lambda^xixi!
Onde:
  • xi é o valor observado na amostra.
  • lambda é o parâmetro da distribuição, representando a taxa média de ocorrência.

Passo 3

A função de verossimilhança L(lambda mid x) para uma amostra x = (x1, x2, dots, x13) é o produto das probabilidades individuais:
L(lambda mid x) = prodi=1^13 e^-lambda lambda^xixi!
Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o logaritmo dessa função, chamado de log verossimilhança:
log L(lambda mid x) = sumi=1^13 ( -lambda + xi ln lambda - ln xi! )

Passo 4

Para encontrar o valor de lambda que maximiza a função de log verossimilhança, vamos derivar essa função em relação a lambda e igualar a derivada a zero.
Derivando:
ddlambda log L(lambda mid x) = sumi=1^13 ( -1 + xilambda )
Igualando a zero:
-13 + sumi=1^13 xilambda = 0
Resolvendo para lambda:
lambda = sumi=1^13 xi13

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma dos valores da amostra:
Os valores são: 4, 4, 8, 5, 5, 2, 3, 3, 4, 0, 3, 5, 7.
sumi=1^13 xi = 4 + 4 + 8 + 5 + 5 + 2 + 3 + 3 + 4 + 0 + 3 + 5 + 7 = 53
Portanto:
lambda = 5313 approx 4,08

Resposta

O valor de lambda que maximiza a função de log verossimilhança é lambda = 4,08.

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