Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
4485523340357
3. O valor de
para o qual a função
atinge o seu máximo, é de:
4485523340357
3. O valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A questão pede para gente encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro
para uma distribuição de Poisson, baseada numa amostra de tamanho 13. Depois, tem que calcular o valor de
que faz essa função alcançar o máximo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de Poisson e como trabalhar com funções de verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
Onde:
-
é o valor observado na amostra. -
é o parâmetro da distribuição, representando a taxa média de ocorrência.
Passo 3
A função de verossimilhança
para uma amostra
é o produto das probabilidades individuais:
Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com o logaritmo dessa função, chamado de log verossimilhança:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza a função de log verossimilhança, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a derivada a zero.
Derivando:
Igualando a zero:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma dos valores da amostra:
Os valores são: 4, 4, 8, 5, 5, 2, 3, 3, 4, 0, 3, 5, 7.
Portanto:
Resposta
O valor de
que maximiza a função de log verossimilhança é
.