Seja
uma amostra de tamanho
de uma variável aleatória
cuja função densidade de probabilidade é dada por
para
.
Determine o estimador de máxima verossimilhança de
.
Escolha uma opção:
Determine o estimador de máxima verossimilhança de
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Estatística onde uma amostra
vem de uma distribuição exponencial com função densidade de probabilidade
, para
e
. O objetivo é encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro
. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e derivar para encontrar o estimador.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a função de verossimilhança. A verossimilhança é a probabilidade de observarmos a amostra dada a
. Como as observações são independentes, a verossimilhança é o produto das densidades individuais:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar o logaritmo da função de verossimilhança, que é chamado de log-verossimilhança:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a verossimilhança, vamos derivar a log-verossimilhança em relação a
e igualar a zero:
Passo 5
Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
Passo 6
Observando que a soma das
dividida por
é a média amostral
, podemos reescrever o estimador de máxima verossimilhança como: