Seja (X1, ldots, Xn) uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória X cuja função densidade de probabilidade é dada por
f(x mid lambda)=lambda e^-lambda x, x>0
para lambda>0.
Determine o estimador de máxima verossimilhança de lambda.
Escolha uma opção:
log (lambda)
barX2
lambda^2
1barX
barX

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Estatística onde uma amostra (X1, ldots, Xn) vem de uma distribuição exponencial com função densidade de probabilidade f(x mid lambda)=lambda e^-lambda x, para x > 0 e lambda > 0. O objetivo é encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro lambda. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e derivar para encontrar o estimador.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a função de verossimilhança. A verossimilhança é a probabilidade de observarmos a amostra dada a lambda. Como as observações são independentes, a verossimilhança é o produto das densidades individuais:
L(lambda) = prodi=1^n f(Xi mid lambda) = prodi=1^n lambda e^-lambda Xi

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar o logaritmo da função de verossimilhança, que é chamado de log-verossimilhança:
ell(lambda) = log L(lambda) = sumi=1^n log(lambda e^-lambda Xi) = sumi=1^n ( log lambda - lambda Xi ) = n log lambda - lambda sumi=1^n Xi

Passo 4

Agora, para encontrar o valor de lambda que maximiza a verossimilhança, vamos derivar a log-verossimilhança em relação a lambda e igualar a zero:
dell(lambda)dlambda = nlambda - sumi=1^n Xi

Passo 5

Igualando a derivada a zero para encontrar o máximo:
nlambda - sumi=1^n Xi = 0 implies nlambda = sumi=1^n Xi implies lambda = nsumi=1^n Xi

Passo 6

Observando que a soma das Xi dividida por n é a média amostral barX, podemos reescrever o estimador de máxima verossimilhança como:
lambda = 1barX

Resposta

1barX

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