Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
4485523340357
2. O valor de log L(lambda=10 mid x), é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de tamanho 13 retirada de uma população que segue a distribuição de Poisson com parâmetro lambda. O que a gente precisa fazer é encontrar a função de log verossimilhança, que é basicamente uma forma de medir o quão provável é observarmos os dados que temos, dado um valor específico de lambda. Para isso, vamos usar a fórmula da função de verossimilhança da distribuição de Poisson e depois aplicar o logaritmo nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a função de probabilidade da distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória X que segue Poisson com parâmetro lambda, a probabilidade de observarmos um valor x é dada por:
P(X = x) = e^-lambda lambda^xx!

Passo 3

Agora, como temos uma amostra de tamanho 13, a função de verossimilhança L(lambda mid x) é o produto das probabilidades de cada observação individualmente. Ou seja:
L(lambda mid x) = prodi=1^13 e^-lambda lambda^xixi!

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a função de log verossimilhança, que é o logaritmo natural da função de verossimilhança. Isso transforma o produto em uma soma, o que simplifica muito a matemática:
log L(lambda mid x) = sumi=1^13 ( -lambda + xi ln(lambda) - ln(xi!) )

Passo 5

Nosso próximo passo é substituir o valor de lambda por 10 e os valores da amostra na fórmula acima. Primeiro, vamos identificar os valores da amostra. Pelo enunciado, os dados são “4485523340357”, que representam:
x = [4, 4, 8, 5, 5, 2, 3, 3, 4, 0, 3, 5, 7]

Passo 6

Vamos então calcular cada termo da soma:
  • -lambda = -10
  • xi ln(lambda) = xi ln(10) para cada xi
  • ln(xi!) pode ser calculado para cada xi
Vamos calcular cada parte:
  1. -lambda = -10
  2. sumi=1^13 xi ln(10)
  3. sumi=1^13 ln(xi!)

Passo 7

Vamos calcular cada soma:
  1. sumi=1^13 xi = 4 + 4 + 8 + 5 + 5 + 2 + 3 + 3 + 4 + 0 + 3 + 5 + 7 = 50
    Então, sumi=1^13 xi ln(10) = 50 ln(10)
  2. Agora, vamos calcular sumi=1^13 ln(xi!):
    • ln(4!) = ln(24) approx 3.1781
    • ln(4!) approx 3.1781
    • ln(8!) approx 8.5252
    • ln(5!) approx 4.7875
    • ln(5!) approx 4.7875
    • ln(2!) approx 0.6931
    • ln(3!) approx 1.7918
    • ln(3!) approx 1.7918
    • ln(4!) approx 3.1781
    • ln(0!) = ln(1) = 0
    • ln(3!) approx 1.7918
    • ln(5!) approx 4.7875
    • ln(7!) approx 6.5793
    Somando todos esses valores:
    3.1781 + 3.1781 + 8.5252 + 4.7875 + 4.7875 + 0.6931 + 1.7918 + 1.7918 + 3.1781 + 0 + 1.7918 + 4.7875 + 6.5793 approx 43.5614

Passo 8

Agora, substituindo tudo na fórmula da log verossimilhança:
log L(10 mid x) = (-10) + 50 ln(10) - 43.5614
Sabemos que ln(10) approx 2.3026, então:
50 ln(10) = 50 times 2.3026 = 115.13
Então:
log L(10 mid x) = -10 + 115.13 - 43.5614 approx 61.5686

Resposta

O valor de log L(lambda=10 mid x) é aproximadamente 61,57.

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