Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
4485523340357
2. O valor de
, é de:
4485523340357
2. O valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de tamanho 13 retirada de uma população que segue a distribuição de Poisson com parâmetro
. O que a gente precisa fazer é encontrar a função de log verossimilhança, que é basicamente uma forma de medir o quão provável é observarmos os dados que temos, dado um valor específico de
. Para isso, vamos usar a fórmula da função de verossimilhança da distribuição de Poisson e depois aplicar o logaritmo nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a função de probabilidade da distribuição de Poisson. Para uma variável aleatória
que segue Poisson com parâmetro
, a probabilidade de observarmos um valor
é dada por:
Passo 3
Agora, como temos uma amostra de tamanho 13, a função de verossimilhança
é o produto das probabilidades de cada observação individualmente. Ou seja:
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos trabalhar com a função de log verossimilhança, que é o logaritmo natural da função de verossimilhança. Isso transforma o produto em uma soma, o que simplifica muito a matemática:
Passo 5
Nosso próximo passo é substituir o valor de
por 10 e os valores da amostra na fórmula acima. Primeiro, vamos identificar os valores da amostra. Pelo enunciado, os dados são “4485523340357”, que representam:
Passo 6
Vamos então calcular cada termo da soma:
-
-
para cada -
pode ser calculado para cada
Vamos calcular cada parte:
Passo 7
Vamos calcular cada soma:
-
Então,
-
Agora, vamos calcular
: Somando todos esses valores: -
Passo 8
Agora, substituindo tudo na fórmula da log verossimilhança:
Sabemos que
, então:
Então:
Resposta
O valor de
é aproximadamente 61,57.