Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro lambda. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro lambda dada a amostra observada, ou seja, log L(lambda mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
4485523340357
  1. O valor de log L(lambda=2 mid x), é de:
    square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro lambda para uma amostra de uma distribuição de Poisson. Além disso, precisamos calcular o valor de log L(lambda=2 mid x) usando a amostra fornecida. Vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição de Poisson e à verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Essa distribuição é útil para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa constante e de forma independente.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • k é o número de eventos,
  • lambda é o parâmetro da distribuição (média de eventos),
  • e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Agora, a função de verossimilhança L(lambda mid x) para uma amostra x = (x1, x2, dots, xn) é o produto das probabilidades individuais:
L(lambda mid x) = prodi=1^n P(X = xi) = prodi=1^n e^-lambda lambda^xixi!

Passo 4

Para facilitar os cálculos, usamos o logaritmo da verossimilhança, chamado de log verossimilhança:
log L(lambda mid x) = sumi=1^n ( -lambda + xi ln lambda - ln(xi!) )
Simplificando:
log L(lambda mid x) = -nlambda + ( sumi=1^n xi ) ln lambda - sumi=1^n ln(xi!)

Passo 5

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos uma amostra de tamanho n = 13 com os seguintes valores:
x = 4, 4, 8, 5, 5, 2, 3, 3, 4, 0, 3, 5, 7
Primeiro, calculamos a soma dos xi:
sumi=1^13 xi = 4 + 4 + 8 + 5 + 5 + 2 + 3 + 3 + 4 + 0 + 3 + 5 + 7 = 50

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da log verossimilhança:
log L(lambda mid x) = -13lambda + 50 ln lambda - sumi=1^13 ln(xi!)
Como queremos especificamente log L(lambda=2 mid x), substituímos lambda por 2:
log L(2 mid x) = -13 times 2 + 50 ln 2 - sumi=1^13 ln(xi!)

Passo 7

Calculamos os termos numéricos:
  • -13 times 2 = -26
  • 50 ln 2 approx 50 times 0.6931 = 34.655
Agora, precisamos calcular sum ln(xi!):
sum ln(xi!) = ln(4!) + ln(4!) + ln(8!) + ln(5!) + ln(5!) + ln(2!) + ln(3!) + ln(3!) + ln(4!) + ln(0!) + ln(3!) + ln(5!) + ln(7!)
Calculando cada termo:
  • ln(4!) = ln(24) approx 3.1781 (aparece 3 vezes)
  • ln(8!) = ln(40320) approx 10.6046
  • ln(5!) = ln(120) approx 4.7875 (aparece 3 vezes)
  • ln(2!) = ln(2) approx 0.6931
  • ln(3!) = ln(6) approx 1.7918 (aparece 3 vezes)
  • ln(0!) = ln(1) = 0
  • ln(7!) = ln(5040) approx 8.5172
Somando:
3.1781 times 3 + 10.6046 + 4.7875 times 3 + 0.6931 + 1.7918 times 3 + 0 + 8.5172 approx 9.5343 + 10.6046 + 14.3625 + 0.6931 + 5.3754 + 0 + 8.5172 = 48.0761

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão da log verossimilhança:
log L(2 mid x) = -26 + 34.655 - 48.0761 = -26 + 34.655 - 48.0761 = -39.4211

Resposta

O valor de log L(lambda=2 mid x) é aproximadamente -39.42.

Exercícios relacionados