Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 13 retirada de uma população com distribuição de Poisson com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
4485523340357
- O valor de
, é de:
4485523340357
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro
para uma amostra de uma distribuição de Poisson. Além disso, precisamos calcular o valor de
usando a amostra fornecida. Vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição de Poisson e à verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Poisson. Essa distribuição é útil para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa constante e de forma independente.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
onde:
-
é o número de eventos, -
é o parâmetro da distribuição (média de eventos), -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Agora, a função de verossimilhança
para uma amostra
é o produto das probabilidades individuais:
Passo 4
Para facilitar os cálculos, usamos o logaritmo da verossimilhança, chamado de log verossimilhança:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Temos uma amostra de tamanho
com os seguintes valores:
Primeiro, calculamos a soma dos
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula da log verossimilhança:
Como queremos especificamente
, substituímos
por 2:
Passo 7
Calculamos os termos numéricos:
Agora, precisamos calcular
:
Calculando cada termo:
-
(aparece 3 vezes) -
-
(aparece 3 vezes) -
-
(aparece 3 vezes) -
-
Somando:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão da log verossimilhança:
Resposta
O valor de
é aproximadamente
.