Considere a segunda lei de Newton, que pode ser escrita na forma abaixo para o caso de um sistema com massa constante m :
\vec{F}=m \vec{a}
Mostre que podemos considerar uma lei equivalente para situação angulares análogas, na forma:
\vec{\tau}=I \vec{\alpha}
em que \vec{\tau} é o torque, I é o momento de inércia do sistema e \vec{\alpha}, a aceleração angular.

Passo 1

O enunciado dá a segunda lei de Newton para uma massa constante m:
\vec{F}=m \vec{a}
e pede para mostrar que existe uma lei análoga para quantidades angulares:
\vec{\tau}=I \vec{\alpha}.
Vou listar claramente o que nos é dado e o que deve ser mostrado:
  • Dado: a forma vetorial da segunda lei para partículas \vec{F}=\dot{\vec{p}} com \vec{p}=m\vec{v} (no enunciado aparece m\vec{a}, que é o mesmo quando m é constante).
  • Objetivo: mostrar que, para rotações, o torque resultante \vec{\tau} é igual à derivada temporal do momento angular total \dot{\vec{L}} e, sob condições apropriadas (corpo rígido, eixo fixo ou momento de inércia constante), que isso pode ser escrito como \vec{\tau}=I\vec{\alpha}, onde I é o momento de inércia e \vec{\alpha}=\dot{\vec{\omega}} é a aceleração angular.
  • Informação implícita que usaremos: definição de torque \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}, definição de momento angular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} e propriedades de um corpo rígido em rotação.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma concreta):
  • Torque: para uma força \vec{F} aplicada com vetor posição \vec{r} em relação a um ponto (origem), define-se o torque
\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}.
Isto mede a tendência da força em provocar rotação em torno da origem; o produto vetorial dá magnitude rF\sin\theta e direção perpendicular ao plano formado por \vec{r} e \vec{F}.
  • Momento linear (quantidade de movimento): para uma partícula de massa m e velocidade \vec{v},
\vec{p}=m\vec{v}.
  • Momento angular de uma partícula em relação à origem:
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}=m\,\vec{r}\times\vec{v}.
Momento angular é a quantidade que corresponde ao “efeito rotacional” da partícula em relação à origem.

Passo 3

Mostrar que, para uma única partícula, torque é a derivada do momento angular:
  • Começamos da definição de \vec{L} para uma partícula:
\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}.
  • Derivamos em relação ao tempo:
\dot{\vec{L}}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=\dot{\vec{r}}\times\vec{p}+\vec{r}\times\dot{\vec{p}}.
Aqui usei a regra do produto para derivada de produto vetorial.
  • Substituindo \dot{\vec{r}}=\vec{v} e \vec{p}=m\vec{v}, o primeiro termo fica
\dot{\vec{r}}\times\vec{p}=\vec{v}\times(m\vec{v})=m(\vec{v}\times\vec{v})= \vec{0},
pois \vec{v}\times\vec{v}=\vec{0}.
  • O segundo termo é \vec{r}\times\dot{\vec{p}}=\vec{r}\times\vec{F} (pela segunda lei \dot{\vec{p}}=\vec{F}). Portanto
\dot{\vec{L}}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{\tau}.
Conclusão importante: para uma partícula, a taxa de variação do momento angular é igual ao torque aplicado sobre ela:
\vec{\tau}=\dot{\vec{L}}.

Passo 4

Extensão para um sistema de partículas (corpo rígido):
  • Para um conjunto discreto de partículas indexadas por i, cada uma com posição \vec{r}_i, impulso \vec{p}_i e torque \vec{\tau}_i=\vec{r}_i\times\vec{F}_i, soma-se o resultado do passo anterior:
\sum_i \vec{\tau}_i = \sum_i \dot{\vec{L}}_i = \frac{d}{dt}\sum_i \vec{L}_i \equiv \dot{\vec{L}},
ou seja, o torque resultante sobre o sistema é a derivada temporal do momento angular total do sistema:
\vec{\tau}_{\text{total}}=\dot{\vec{L}}_{\text{total}}.
Isso vale em geral (inclui forças internas que aparecem em pares e se cancelam na soma de torques, sob as condições usuais de ação e reação atuando na mesma linha).

Passo 5

Especializar para um corpo rígido em rotação sólida em torno de um eixo fixo:
  • Em um corpo rígido que gira com velocidade angular \vec{\omega} (mesma para todas as partículas do corpo num movimento de rotação pura), a velocidade da partícula i é dada por
\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i.
Isto segue da cinemática de corpo rígido: cada ponto descreve movimento circular em torno do eixo, com velocidade perpendicular a \vec{r}_i e proporcional a \omega.
  • O momento angular da partícula i é
\vec{L}_i = m_i \vec{r}_i\times\vec{v}_i = m_i \vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i).

Passo 6

Calcular \vec{L}_i usando identidade de produto vetorial (triple product):
  • Usar a identidade
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Aplicando com \vec{a}=\vec{r}_i, \vec{b}=\vec{\omega}, \vec{c}=\vec{r}_i,
\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)=\vec{\omega}(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)-\vec{r}_i(\vec{r}_i\cdot\vec{\omega}).
  • Note que \vec{r}_i\cdot\vec{r}_i=r_i^2 é o quadrado da distância ao ponto de rotação, e \vec{r}_i\cdot\vec{\omega} é a componente de \vec{r}_i na direção de \vec{\omega}.
  • Para rotação em torno de um eixo fixo, a componente de \vec{r}_i paralela a \vec{\omega} não contribui para o movimento circular; define-se r_{\perp,i} como a distância perpendicular do ponto i ao eixo de rotação. Então
r_i^2 - \frac{(\vec{r}_i\cdot\vec{\omega})^2}{\omega^2}=r_{\perp,i}^2,
e, quando \vec{\omega} aponta numa direção fixa (e.g. eixo z), é comum que \vec{r}_i\cdot\vec{\omega} = 0 para a componente perpendicular, simplificando a expressão.
  • Se \vec{\omega} é paralelo ao eixo e assumirmos que \vec{L}_i ficará paralelo a \vec{\omega} (caso de eixo principal ou eixo fixo), então o segundo termo projeta na direção de \vec{r}_i que não contribui para o componente paralelo a \vec{\omega}. Em consequência, para o componente ao longo de \vec{\omega} obtemos
\vec{L}_i = m_i r_{\perp,i}^2 \,\vec{\omega}.
Isto pode ser visto mais diretamente quando \vec{\omega} é paralelo ao eixo e \vec{r}_i tem componente apenas perpendicular ao eixo.

Passo 7

Somar sobre todas as partículas para obter o momento angular total e definir o momento de inércia:
  • O momento angular total do corpo é
\vec{L}=\sum_i \vec{L}_i=\sum_i m_i r_{\perp,i}^2 \,\vec{\omega}.
  • Definindo o momento de inércia em relação ao eixo escolhido como
I=\sum_i m_i r_{\perp,i}^2,
segue que
\vec{L}=I\,\vec{\omega}.
Comentário prático: para distribuições contínuas de massa substitui-se a soma por uma integral \;I=\int r_{\perp}^2\,dm\;.

Passo 8

Derivar a relação entre torque e aceleração angular:
  • Já estabelecemos em

Passo 9

\vec{\tau}=\dot{\vec{L}}.
  • Se o corpo é rígido e o eixo de rotação é fixo (ou mais geralmente se I for constante no tempo), então ao derivar \vec{L}=I\vec{\omega} obtém-se
\dot{\vec{L}}=I\,\dot{\vec{\omega}} = I\,\vec{\alpha},
onde \vec{\alpha}=\dot{\vec{\omega}} é a aceleração angular.
  • Assim, sob essas condições:
\vec{\tau}=\dot{\vec{L}}=I\,\vec{\alpha}.

Passo 10

Condições de validade e observações pedagógicas (para usar isso na prova):
  • Condições necessárias para escrever \vec{\tau}=I\vec{\alpha} de forma direta:
    • corpo rígido (as distâncias relativas entre partículas não mudam),
    • eixo de rotação fixo ou um eixo principal, de modo que o tensor de inércia reduza-se a um escalar I e I seja constante no tempo;
    • forças internas não criam torque resultante não nulo que altere a fórmula de soma simples.
  • Se o corpo não for rígido, ou se o eixo não for fixo/principal, o momento de inércia pode variar com o tempo e a relação geral é
\vec{\tau}=\dot{\vec{L}}=\dot{I}\,\vec{\omega}+I\,\vec{\alpha},
ou, no caso completamente geral, usa-se o tensor de inércia e a relação vetorial completa \vec{L}=\mathbf{I}\cdot\vec{\omega} e \vec{\tau}=\dot{\vec{L}}.
  • Exemplo simples e concreto para fixar:
    • Partícula única de massa m ligada a uma haste sem massa a uma distância r do eixo. Então I=mr^2. Para que a partícula tenha aceleração angular \vec{\alpha} o torque necessário é
\vec{\tau}=I\vec{\alpha}=mr^2\vec{\alpha}.
Isso corresponde à intuição clássica: quanto maior a massa ou o raio, maior a resistência à mudança de rotação.

Resposta

\vec{\tau}=I\vec{\alpha}

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