Considere a segunda lei de Newton, que pode ser escrita na forma abaixo para o caso de um sistema com massa constante
:
Mostre que podemos considerar uma lei equivalente para situação angulares análogas, na forma:
em que
é o torque, I é o momento de inércia do sistema e
, a aceleração angular.
Passo 1
O enunciado dá a segunda lei de Newton para uma massa constante
:
e pede para mostrar que existe uma lei análoga para quantidades angulares:
Vou listar claramente o que nos é dado e o que deve ser mostrado:
- Dado: a forma vetorial da segunda lei para partículas
com (no enunciado aparece , que é o mesmo quando é constante). - Objetivo: mostrar que, para rotações, o torque resultante
é igual à derivada temporal do momento angular total e, sob condições apropriadas (corpo rígido, eixo fixo ou momento de inércia constante), que isso pode ser escrito como , onde é o momento de inércia e é a aceleração angular. - Informação implícita que usaremos: definição de torque
, definição de momento angular e propriedades de um corpo rígido em rotação.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicados de forma concreta):
- Torque: para uma força
aplicada com vetor posição em relação a um ponto (origem), define-se o torque
Isto mede a tendência da força em provocar rotação em torno da origem; o produto vetorial dá magnitude
e direção perpendicular ao plano formado por
e
.
- Momento linear (quantidade de movimento): para uma partícula de massa
e velocidade ,
- Momento angular de uma partícula em relação à origem:
Momento angular é a quantidade que corresponde ao “efeito rotacional” da partícula em relação à origem.
Passo 3
Mostrar que, para uma única partícula, torque é a derivada do momento angular:
- Começamos da definição de
para uma partícula:
- Derivamos em relação ao tempo:
Aqui usei a regra do produto para derivada de produto vetorial.
- Substituindo
e , o primeiro termo fica
pois
.
- O segundo termo é
(pela segunda lei ). Portanto
Conclusão importante: para uma partícula, a taxa de variação do momento angular é igual ao torque aplicado sobre ela:
Passo 4
Extensão para um sistema de partículas (corpo rígido):
- Para um conjunto discreto de partículas indexadas por
, cada uma com posição , impulso e torque , soma-se o resultado do passo anterior:
ou seja, o torque resultante sobre o sistema é a derivada temporal do momento angular total do sistema:
Isso vale em geral (inclui forças internas que aparecem em pares e se cancelam na soma de torques, sob as condições usuais de ação e reação atuando na mesma linha).
Passo 5
Especializar para um corpo rígido em rotação sólida em torno de um eixo fixo:
- Em um corpo rígido que gira com velocidade angular
(mesma para todas as partículas do corpo num movimento de rotação pura), a velocidade da partícula é dada por
Isto segue da cinemática de corpo rígido: cada ponto descreve movimento circular em torno do eixo, com velocidade perpendicular a
e proporcional a
.
- O momento angular da partícula
é
Passo 6
Calcular
usando identidade de produto vetorial (triple product):
- Usar a identidade
Aplicando com
,
,
,
- Note que
é o quadrado da distância ao ponto de rotação, e é a componente de na direção de . - Para rotação em torno de um eixo fixo, a componente de
paralela a não contribui para o movimento circular; define-se como a distância perpendicular do ponto ao eixo de rotação. Então
e, quando
aponta numa direção fixa (e.g. eixo z), é comum que
para a componente perpendicular, simplificando a expressão.
- Se
é paralelo ao eixo e assumirmos que ficará paralelo a (caso de eixo principal ou eixo fixo), então o segundo termo projeta na direção de que não contribui para o componente paralelo a . Em consequência, para o componente ao longo de obtemos
Isto pode ser visto mais diretamente quando
é paralelo ao eixo e
tem componente apenas perpendicular ao eixo.
Passo 7
Somar sobre todas as partículas para obter o momento angular total e definir o momento de inércia:
- O momento angular total do corpo é
- Definindo o momento de inércia em relação ao eixo escolhido como
segue que
Comentário prático: para distribuições contínuas de massa substitui-se a soma por uma integral
.
Passo 8
Derivar a relação entre torque e aceleração angular:
- Já estabelecemos em
Passo 9
- Se o corpo é rígido e o eixo de rotação é fixo (ou mais geralmente se
for constante no tempo), então ao derivar obtém-se
onde
é a aceleração angular.
- Assim, sob essas condições:
Passo 10
Condições de validade e observações pedagógicas (para usar isso na prova):
- Condições necessárias para escrever
de forma direta: - corpo rígido (as distâncias relativas entre partículas não mudam),
- eixo de rotação fixo ou um eixo principal, de modo que o tensor de inércia reduza-se a um escalar
e seja constante no tempo; - forças internas não criam torque resultante não nulo que altere a fórmula de soma simples.
- Se o corpo não for rígido, ou se o eixo não for fixo/principal, o momento de inércia pode variar com o tempo e a relação geral é
ou, no caso completamente geral, usa-se o tensor de inércia e a relação vetorial completa
e
.
- Exemplo simples e concreto para fixar:
- Partícula única de massa
ligada a uma haste sem massa a uma distância do eixo. Então . Para que a partícula tenha aceleração angular o torque necessário é
- Partícula única de massa
Isso corresponde à intuição clássica: quanto maior a massa ou o raio, maior a resistência à mudança de rotação.