7- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partículas no centro de um campo U=-a / r^{n}(n>2, a>0).
Solução. A condição de queda consiste na desigualdade r_{\mathrm{min}}<R, onde r_{\mathrm{min}} é o ponto da trajetória da partícula mais próximo do centro da esfera. O valor máximo de \varrho é determinado pela condição r_{\text {min }}=R, o que significa resolver a equação U_{\text {eff }}(R)=E, ou
\frac{m_{1} v_{\infty}^{2} Q_{\max }^{2}}{2 \cdot R^{2}}-\frac{\alpha}{R}=\frac{m_{1} v_{\infty}^{2}}{2},
com a=\gamma m_{1} m_{2} ( \gamma= constante de gravitação), e onde fizemos m \approx m_{1}. considerando que m_{2} \gg m_{1}. Tirando dessa expressão \varrho^{2}{ }_{\text {max }}, obteremos
\sigma=\pi R^{2}\left(1+\frac{2 \gamma m_{2}}{R v_{\infty}^{2}}\right)
Quando v_{\infty} \rightarrow \infty a secção de choque tende, evidentemente, para a superfície geométrica da secção da esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • O potencial central é U(r)=-\dfrac{a}{r^{n}},\qquad n>2,\; a>0.
  • Há uma esfera de “raio de captura” \,R. Uma partícula de massa \,m chega de “infinito” com velocidade \,v_{\infty} e impacto (parâmetro de impacto) \,\rho.
  • Energia na infinidade é puramente cinética: E=\dfrac{1}{2}m v_{\infty}^{2}.
  • A condição de queda (captura) é que o ponto de aproximação mais próximo da trajetória r_{\min} satisfaça r_{\min}<R.
  • O valor crítico \rho_{\max} que separa queda de não-queda é dado pela igualdade r_{\min}=R. Para esse caso vale U_{\text{eff}}(R)=E, onde U_{\text{eff}} é o potencial efetivo.
  • O objetivo: determinar a secção de choque de captura \sigma=\pi \rho_{\max}^{2} em função de m,\;v_{\infty},\;a,\;R e n.

Passo 2

Conservação de momento angular e energia e definição do potencial efetivo — fórmulas e explicação.
  • Momento angular (módulo) da partícula em relação ao centro é constante e vale
L=m v_{\infty}\rho.
Explicação: à grande distância a velocidade é \,v_{\infty} e a distância perpendicular ao raio é \rho; o produto m v_{\infty}\rho é o momento angular (unidade: \mathrm{kg\cdot m^2/s}).
  • O potencial efetivo que governa o movimento radial combina a energia centrífuga com o potencial central:
U_{\text{eff}}(r)=\frac{L^{2}}{2m r^{2}}+U(r).
Explicação das parcelas:
  • \dfrac{L^{2}}{2m r^{2}} é a energia centrífuga por unidade de massa associada ao instante radial r; faz com que a partícula “sinta” uma barreira quando tenta aproximar-se do centro.
  • U(r)=-\dfrac{a}{r^{n}} é o potencial atrativo real.
  • O ponto de aproximação mínima r_{\min} é solução da equação de conservação de energia
E=U_{\text{eff}}(r_{\min}).
Para a fronteira entre queda e não-queda tomamos r_{\min}=R e impomos
E=U_{\text{eff}}(R).

Passo 3

Substituir expressões explícitas em E=U_{\text{eff}}(R) e escrever a equação a resolver.
  • Energia na infinidade:
E=\frac{1}{2}m v_{\infty}^{2}.
  • Momento angular ao quadrado:
L^{2}=(m v_{\infty}\rho)^{2}=m^{2}v_{\infty}^{2}\rho^{2}.
  • A parcela centrífuga em r=R fica
\frac{L^{2}}{2m R^{2}}=\frac{m^{2}v_{\infty}^{2}\rho^{2}}{2m R^{2}}=\frac{m v_{\infty}^{2}\rho^{2}}{2R^{2}}.
  • O potencial em r=R é
U(R)=-\frac{a}{R^{n}}.
  • Igualando E e U_{\text{eff}}(R) obtemos a equação a ser resolvida para \rho:
\frac{m v_{\infty}^{2}\rho^{2}}{2R^{2}}-\frac{a}{R^{n}}=\frac{1}{2}m v_{\infty}^{2}.

Passo 4

Resolver a equação acima para obter \rho_{\max}^{2}, com passos algébricos explícitos.
Partimos de
\frac{m v_{\infty}^{2}\rho^{2}}{2R^{2}}-\frac{a}{R^{n}}=\frac{1}{2}m v_{\infty}^{2}.
Somando \dfrac{a}{R^{n}} aos dois lados:
\frac{m v_{\infty}^{2}\rho^{2}}{2R^{2}}=\frac{1}{2}m v_{\infty}^{2}+\frac{a}{R^{n}}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{2R^{2}}{m v_{\infty}^{2}}:
\rho^{2}=R^{2}\left(1+\frac{2a}{m v_{\infty}^{2}R^{n}}\right).
Este é o quadrado do impacto máximo que ainda leva à aproximação até R. Denotando \rho_{\max} o valor crítico:
\rho_{\max}^{2}=R^{2}\left(1+\frac{2a}{m v_{\infty}^{2}R^{n}}\right).

Passo 5

Obter a secção de choque e comentar limites físicos; interpretação simples e dicas para prova.
  • A secção de choque de captura é a área circular de raio \rho_{\max}:
\sigma=\pi \rho_{\max}^{2}=\pi R^{2}\left(1+\frac{2a}{m v_{\infty}^{2}R^{n}}\right).
Explicação das grandezas:
  • \sigma tem dimensão de área.
  • O termo \pi R^{2} é a secção geométrica; o segundo termo dentro dos parênteses é o aumento devido à atração (foco gravitacional/atrator).
  • Para velocidades altas \,v_{\infty}\to\infty o segundo termo tende a zero e \sigma\to\pi R^{2} (apenas a área geométrica conta).
  • Para velocidades baixas o segundo termo cresce como 1/v_{\infty}^{2}, aumentando bastante a secção de choque (partículas são desviadas e capturadas a partir de impact parameters maiores).
Dica de prova (passos que sempre usar):
  1. Escrever E=\tfrac{1}{2}m v_{\infty}^{2} e L=m v_{\infty}\rho.
  2. Montar U_{\text{eff}}(r)=\dfrac{L^{2}}{2m r^{2}}+U(r).
  3. Impor E=U_{\text{eff}}(R) para achar \rho_{\max}.
  4. Calcular \sigma=\pi \rho_{\max}^{2}.

Resposta

\displaystyle \sigma=\pi R^{2}\left(1+\frac{2a}{m v_{\infty}^{2}R^{n}}\right)

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