7- Determinar a secção de choque para uma ‘queda’ de partículas no centro de um campo
.
Solução. A condição de queda consiste na desigualdade
, onde
é o ponto da trajetória da partícula mais próximo do centro da esfera. O valor máximo de
é determinado pela condição
, o que significa resolver a equação
, ou
com
(
constante de gravitação), e onde fizemos
. considerando que
. Tirando dessa expressão
, obteremos
Quando
a secção de choque tende, evidentemente, para a superfície geométrica da secção da esfera.
Solução. A condição de queda consiste na desigualdade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- O potencial central é
- Há uma esfera de “raio de captura”
. Uma partícula de massa chega de “infinito” com velocidade e impacto (parâmetro de impacto) . - Energia na infinidade é puramente cinética:
- A condição de queda (captura) é que o ponto de aproximação mais próximo da trajetória
satisfaça - O valor crítico
que separa queda de não-queda é dado pela igualdade . Para esse caso vale onde é o potencial efetivo. - O objetivo: determinar a secção de choque de captura
em função de e .
Passo 2
Conservação de momento angular e energia e definição do potencial efetivo — fórmulas e explicação.
- Momento angular (módulo) da partícula em relação ao centro é constante e vale
Explicação: à grande distância a velocidade é
e a distância perpendicular ao raio é
; o produto
é o momento angular (unidade:
).
- O potencial efetivo que governa o movimento radial combina a energia centrífuga com o potencial central:
Explicação das parcelas:
-
é a energia centrífuga por unidade de massa associada ao instante radial ; faz com que a partícula “sinta” uma barreira quando tenta aproximar-se do centro. -
é o potencial atrativo real. -
O ponto de aproximação mínima
é solução da equação de conservação de energia
Para a fronteira entre queda e não-queda tomamos
e impomos
Passo 3
Substituir expressões explícitas em
e escrever a equação a resolver.
- Energia na infinidade:
- Momento angular ao quadrado:
- A parcela centrífuga em
fica
- O potencial em
é
- Igualando
e obtemos a equação a ser resolvida para :
Passo 4
Resolver a equação acima para obter
, com passos algébricos explícitos.
Partimos de
Somando
aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Este é o quadrado do impacto máximo que ainda leva à aproximação até
. Denotando
o valor crítico:
Passo 5
Obter a secção de choque e comentar limites físicos; interpretação simples e dicas para prova.
- A secção de choque de captura é a área circular de raio
:
Explicação das grandezas:
-
tem dimensão de área. - O termo
é a secção geométrica; o segundo termo dentro dos parênteses é o aumento devido à atração (foco gravitacional/atrator). - Para velocidades altas
o segundo termo tende a zero e (apenas a área geométrica conta). - Para velocidades baixas o segundo termo cresce como
, aumentando bastante a secção de choque (partículas são desviadas e capturadas a partir de impact parameters maiores).
Dica de prova (passos que sempre usar):
- Escrever
e . - Montar
. - Impor
para achar . - Calcular
.