Determine o periodo de oscilalçao em função da energia, por ocilação do movimento de uma particula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
U=U_{0}[tan (\alpha x)]^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o período de oscilação T em função da energia E para uma partícula de massa m sujeita ao potencial
U(x)=U_{0}\tan^{2}(\alpha x).
Informações relevantes dadas:
  • Massa da partícula: m.
  • Energia potencial: U(x)=U_{0}\tan^{2}(\alpha x) com U_{0}>0 e \alpha>0.
  • Quer-se T expresso em função de E (energia total do movimento).
    Observação prática: o potencial tem singularidades em x=\pm\pi/(2\alpha), então a partícula, se ligada (movimento oscilatório), fica confinada entre dois pontos simétricos onde E=U(x).

Passo 2

Entendendo o que significa “período” e a conservação de energia (aulas rápidas):
  • Em um movimento unidimensional conservativo, a energia total E é constante e vale
E=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+U(x),
onde \dot{x} é a velocidade.
  • Nas viradas (pontos de inversão), a velocidade se anula e temos E=U(x). Esses pontos são os limites de integração para o movimento oscilatório.
  • O período T do movimento é o tempo necessário para a partícula ir de um extremo até o outro e voltar. Usando conservação de energia, a fórmula padrão para o período é
T=2\int_{x_{1}}^{x_{2}}\frac{dx}{v(x)}
onde v(x)=\sqrt{\dfrac{2}{m}\bigl(E-U(x)\bigr)} e x_{1},x_{2} são os pontos de inversão (turning points).

Passo 3

Determinar os pontos de inversão (turning points):
  • Nas viradas vale E=U(x)=U_{0}\tan^{2}(\alpha x).
  • Assim
\tan^{2}(\alpha x)=\frac{E}{U_{0}}.
  • Como queremos a oscilação simétrica em torno de x=0, os extremos são x=\pm x_{\max} com
x_{\max}=\frac{1}{\alpha}\arctan\!\biggl(\sqrt{\frac{E}{U_{0}}}\biggr).
Denotamos
k\equiv\sqrt{\frac{E}{U_{0}}}\quad(\text{portanto }k\ge0).

Passo 4

Escrever a integral do período usando a fórmula da energia:
  • A velocidade é
v(x)=\sqrt{\frac{2}{m}\bigl(E-U_{0}\tan^{2}(\alpha x)\bigr)}.
  • Como o potencial é par, a integral é simétrica e podemos escrever
T=2\int_{-x_{\max}}^{x_{\max}}\frac{dx}{v(x)}=4\int_{0}^{x_{\max}}\frac{dx}{v(x)}.
  • Substituindo v(x),
T=4\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{x_{\max}}\frac{dx}{\sqrt{E-U_{0}\tan^{2}(\alpha x)}}.

Passo 5

Troca de variável conveniente: u=\tan(\alpha x).
  • Calculamos du=\alpha(1+u^{2})\,dx, então
dx=\frac{du}{\alpha(1+u^{2})}.
  • Limites: x=0\Rightarrow u=0; x=x_{\max}\Rightarrow u=k.
  • Substituindo na integral:
T=4\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{0}^{k}\frac{1}{\alpha(1+u^{2})}\cdot\frac{du}{\sqrt{E-U_{0}u^{2}}}.
  • Fatorando \sqrt{E} ou \sqrt{U_{0}} para simplificar, note que \sqrt{E-U_{0}u^{2}}=\sqrt{U_{0}}\sqrt{k^{2}-u^{2}}. Assim
T=\frac{4}{\alpha}\sqrt{\frac{m}{2U_{0}}}\int_{0}^{k}\frac{du}{(1+u^{2})\sqrt{k^{2}-u^{2}}}.

Passo 6

Outra mudança de variável para avaliar a integral: u=k\sin\theta.
  • Então du=k\cos\theta\,d\theta e \sqrt{k^{2}-u^{2}}=k\cos\theta.
  • Limites: u=0\Rightarrow\theta=0; u=k\Rightarrow\theta=\pi/2.
  • Substituindo:
\int_{0}^{k}\frac{du}{(1+u^{2})\sqrt{k^{2}-u^{2}}} =\int_{0}^{\pi/2}\frac{k\cos\theta\,d\theta}{\bigl(1+k^{2}\sin^{2}\theta\bigr)\,k\cos\theta} =\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{1+k^{2}\sin^{2}\theta}.
Assim definimos a integral auxiliar
I(k)\equiv\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{1+k^{2}\sin^{2}\theta}.

Passo 7

Avaliar I(k) por uma substituição simples:
  • Fazendo t=\tan\theta temos d\theta=\dfrac{dt}{1+t^{2}} e \sin^{2}\theta=\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}}.
  • Quando \theta vai de 0 a \pi/2, t vai de 0 a +\infty.
  • Substituindo em I(k):
I(k)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+k^{2}\dfrac{t^{2}}{1+t^{2}}}\cdot\frac{dt}{1+t^{2}} =\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+(1+k^{2})t^{2}}.
  • Essa integral é elementar:
\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+A t^{2}}=\frac{1}{\sqrt{A}}\cdot\frac{\pi}{2}\quad(A>0).
Tomando A=1+k^{2} obtemos
I(k)=\frac{\pi}{2\sqrt{1+k^{2}}}.

Passo 8

Voltar à expressão de T e simplificar:
  • Lembrando a expressão do Passo 5,
T=\frac{4}{\alpha}\sqrt{\frac{m}{2U_{0}}}\;I(k) =\frac{4}{\alpha}\sqrt{\frac{m}{2U_{0}}}\cdot\frac{\pi}{2\sqrt{1+k^{2}}}.
  • Simplificando os fatores numéricos: \dfrac{4}{2}\sqrt{\dfrac{1}{2}}= \pi\sqrt{2} aparece ao rearranjar; fazendo as contas diretas obtemos
T=\frac{\pi\sqrt{2m}}{\alpha\sqrt{E+U_{0}}}.
(usar k^{2}=E/U_{0} implica \sqrt{1+k^{2}}=\sqrt{(E+U_{0})/U_{0}}=\dfrac{\sqrt{E+U_{0}}}{\sqrt{U_{0}}}, que cancela o \sqrt{U_{0}} do denominador.)

Passo 9

Interpretação rápida e checagem dimensional (conforto mental):
  • Dimensionalmente: \sqrt{m/(E+U_{0})} tem dimensão de tempo vezes \alpha^{-1} dá tempo; faz sentido.
  • Limite qualitativo: conforme E aumenta muito, T decresce como 1/\sqrt{E}, ou seja movimentos mais energéticos são mais rápidos; para E\to0, T\to \dfrac{\pi\sqrt{2m}}{\alpha\sqrt{U_{0}}}, valor finito correspondente a pequenas oscilações perto de x=0.

Resposta

T(E)=\frac{\pi\sqrt{2m}}{\alpha\sqrt{E+U_{0}}}.

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