Determine o periodo de oscilalçao em função da energia, por ocilação do movimento de uma particula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
U=U_{0}[tan (\alpha x)]^{2}
U=U_{0}[tan (\alpha x)]^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o período de oscilação
em função da energia
para uma partícula de massa
sujeita ao potencial
Informações relevantes dadas:
- Massa da partícula:
. - Energia potencial:
com e . - Quer-se
expresso em função de (energia total do movimento).
Observação prática: o potencial tem singularidades em, então a partícula, se ligada (movimento oscilatório), fica confinada entre dois pontos simétricos onde .
Passo 2
Entendendo o que significa “período” e a conservação de energia (aulas rápidas):
- Em um movimento unidimensional conservativo, a energia total
é constante e vale
onde
é a velocidade.
- Nas viradas (pontos de inversão), a velocidade se anula e temos
. Esses pontos são os limites de integração para o movimento oscilatório. - O período
do movimento é o tempo necessário para a partícula ir de um extremo até o outro e voltar. Usando conservação de energia, a fórmula padrão para o período é
onde
e
são os pontos de inversão (turning points).
Passo 3
Determinar os pontos de inversão (turning points):
- Nas viradas vale
. - Assim
- Como queremos a oscilação simétrica em torno de
, os extremos são com
Denotamos
Passo 4
Escrever a integral do período usando a fórmula da energia:
- A velocidade é
- Como o potencial é par, a integral é simétrica e podemos escrever
- Substituindo
,
Passo 5
Troca de variável conveniente:
.
- Calculamos
, então
- Limites:
; . - Substituindo na integral:
- Fatorando
ou para simplificar, note que . Assim
Passo 6
Outra mudança de variável para avaliar a integral:
.
- Então
e . - Limites:
; . - Substituindo:
Assim definimos a integral auxiliar
Passo 7
Avaliar
por uma substituição simples:
- Fazendo
temos e . - Quando
vai de a , vai de a . - Substituindo em
:
- Essa integral é elementar:
Tomando
obtemos
Passo 8
Voltar à expressão de
e simplificar:
- Lembrando a expressão do Passo 5,
- Simplificando os fatores numéricos:
aparece ao rearranjar; fazendo as contas diretas obtemos
(usar
implica
, que cancela o
do denominador.)
Passo 9
Interpretação rápida e checagem dimensional (conforto mental):
- Dimensionalmente:
tem dimensão de tempo vezes dá tempo; faz sentido. - Limite qualitativo: conforme
aumenta muito, decresce como , ou seja movimentos mais energéticos são mais rápidos; para , , valor finito correspondente a pequenas oscilações perto de .