Considere 3 semáforos ao longo de uma avenida. Suponha que um automobilista (respeitador) que percorre essa avenida, tendo de passar por esses 3 sinais, tem as seguintes probabilidades:
\mathrm{P}( parar no sinal 1 )=0,5
\mathrm{P}( parar no sinal i se parou no sinal \mathrm{i}-1)=0,25) para \mathrm{i}=2,3)
\mathrm{P}( parar no sinal i se não parou no sinal \mathrm{i}-1)=0,75) para \mathrm{i}=2,3).
A probabilidade de parar num sinal depende apenas do que aconteceu no sinal imediatamente anterior.
a) Calcule as seguintes probabilidades:
b) Serão os dois acontecimentos referidos na alınea anterior mutuamente exclusivos? Justifique. R: Como o acontecimento “parar no segundo semáforo” está contido no acontecimento “parar em pelo menos um semáforo” os acontecimentos não são mutuamente exclusivos.
c) Determine a probabilidade de um automobilista ter parado no primeiro sinal sabendo que não parou no segundo. R: 0,75 .
d) Haverá independência nas paragens em dois semáforos consecutivos? R: Não há independência na paragem em dois semáforos consecutivos.
i) parar no segundo semáforo;
R: 0,5 .
ii) parar em pelo menos um dos semáforos. R: 0,96875.

Passo 1

Identificar o que o enunciado dá e o que pede, de forma clara e organizada.
Dados fornecidos:
P(\text{parar no sinal 1})=0,5
P(\text{parar no sinal }i \mid \text{parou no sinal }i-1)=0,25\quad\text{para }i=2,3
P(\text{parar no sinal }i \mid \text{não parou no sinal }i-1)=0,75\quad\text{para }i=2,3ã
A dependência é só do sinal imediatamente anterior (cadeia de Markov de ordem 1).
O que nos pedem:
a) Calcular as probabilidades
i) P(\text{parar no 2º semáforo})ºá.
ii) P(\text{parar em pelo menos um dos três semáforos})êá.
b) Verificar se os dois acontecimentos de (a) são mutuamente exclusivos (justificar).
c) Calcular P(\text{parou no 1º} \mid \text{não parou no 2º})ºãº.
d) Verificar se há independência nas paragens em dois semáforos consecutivos (justificar).
Para ilustrar, use os pares consecutivos relevantes (por exemplo sinais 1 e 2).
A resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Calcular P(\text{parar no 2º semáforo})ºá por meio da regra da probabilidade total.
Definições úteis (notação curta):
S_1=\{\text{parar no sinal 1}\},\quad S_2=\{\text{parar no sinal 2}\},\quad S_3=\{\text{parar no sinal 3}\}.
Regra da probabilidade total (caso binário do sinal 1):
P(S_2)=P(S_2\mid S_1)P(S_1)+P(S_2\mid \overline{S_1})P(\overline{S_1}).
Explicação da fórmula: a probabilidade de parar no segundo sinal é a soma das probabilidades condicionais ao caso de ter parado no primeiro e ao caso de não ter parado no primeiro, ponderadas pelas probabilidades desses dois casos.
Substituindo os valores conhecidos:
P(S_2)=0,25\cdot 0,5 + 0,75\cdot 0,5.
Efetuando as multiplicações (passo a passo): 0,25\cdot 0,5=0,125 e 0,75\cdot 0,5=0,375. Somando: 0,125+0,375=0,5.

Passo 3

Calcular P(\text{parar em pelo menos um dos três semáforos})êá usando o complementar.
É mais simples calcular primeiro a probabilidade de não parar em nenhum dos três e subtrair de 1:
P(\text{pelo menos um})=1-P(\text{nenhum})=1-P(\overline{S_1}\cap\overline{S_2}\cap\overline{S_3}).
Como a dependência é só do sinal imediatamente anterior, podemos decompor:
P(\overline{S_1}\cap\overline{S_2}\cap\overline{S_3})=P(\overline{S_1})\cdot P(\overline{S_2}\mid \overline{S_1})\cdot P(\overline{S_3}\mid \overline{S_2}).
Explicação: para obter a probabilidade de não parar nos três, multiplica-se a probabilidade de não parar no primeiro pela probabilidade de não parar no segundo dado que não parou no primeiro, e pela probabilidade de não parar no terceiro dado que não parou no segundo.
Usando as probabilidades condicionais (complementos das dadas):
P(\overline{S_1})=1-0,5=0,5,
P(\overline{S_2}\mid \overline{S_1})=1- P(S_2\mid \overline{S_1})=1-0,75=0,25,
P(\overline{S_3}\mid \overline{S_2})=1- P(S_3\mid \overline{S_2})=1-0,75=0,25.
Multiplicando passo a passo:
P(\overline{S_1}\cap\overline{S_2}\cap\overline{S_3})=0,5\cdot 0,25\cdot 0,25.
Calcule: 0,5\cdot 0,25=0,125; depois 0,125\cdot 0,25=0,03125.
Logo:
P(\text{pelo menos um})=1-0,03125=0,96875.

Passo 4

Responder se os dois acontecimentos de (a) são mutuamente exclusivos e justificar.
Os dois acontecimentos são:
A = S_2 = “parar no 2º semáforo”.
B = “ S_1\cup S_2\cup S_3” = “parar em pelo menos um dos semáforos”.
Observação simples: se o motorista parou no segundo semáforo então automaticamente ele parou em pelo menos um dos semáforos. Em notação de conjuntos:
S_2 \subseteq (S_1\cup S_2\cup S_3).
Se um evento está contido no outro, a interseção não é vazia e, de fato, P(S_2\cap (S_1\cup S_2\cup S_3))=P(S_2)>0. Portanto os eventos não são mutuamente exclusivos.

Passo 5

Calcular P(S_1\mid \overline{S_2}) (probabilidade de ter parado no primeiro sabendo que não parou no segundo) usando a fórmula de probabilidade condicional / Bayes.
Fórmula:
P(S_1\mid \overline{S_2})=\frac{P(S_1\cap \overline{S_2})}{P(\overline{S_2})}.
Calcular numerador:
P(S_1\cap \overline{S_2})=P(S_1)\cdot P(\overline{S_2}\mid S_1)=0,5\cdot(1-0,25)=0,5\cdot 0,75=0,375.
Calcular denominador (já sabemos P(S_2)=0,5 do Passo 2):
P(\overline{S_2})=1-P(S_2)=1-0,5=0,5.
Dividindo:
P(S_1\mid \overline{S_2})=\frac{0,375}{0,5}=0,75.
Interpretação curta: dado que não parou no segundo, é mais provável que tenha parado no primeiro (probabilidade 0,75) porque, condicionalmente, não parar no segundo é mais compatível com ter parado no primeiro (já que P(\overline{S_2}\mid S_1)=0,75).

Passo 6

Verificar independência entre paragens em dois semáforos consecutivos (definição e verificação numérica).
Definição: dois eventos X e Y são independentes se e somente se
P(Y\mid X)=P(Y)\quad\text{(ou equivalentemente }P(X\cap Y)=P(X)P(Y)\text{).}
Aplicando aos sinais 1 e 2:
P(S_2\mid S_1)=0,25\quad\text{(dado pelo enunciado)},
enquanto já calculámos que
P(S_2)=0,5\quad\text{(Passo 2)}.
Como 0,25\neq 0,5, tem-se P(S_2\mid S_1)\neq P(S_2). Portanto S_1 e S_2 não são independentes.
Verificação alternativa (produto das marginais):
P(S_1\cap S_2)=P(S_1)P(S_2\mid S_1)=0,5\cdot 0,25=0,125,
enquanto
P(S_1)P(S_2)=0,5\cdot 0,5=0,25.
Como 0,125\neq 0,25, novamente mostra dependência.
Conclusão: não há independência nas paragens em semáforos consecutivos.

Resposta

a.i) 0,5
a.ii) 0,96875
b) Não são mutuamente exclusivos.
c) 0,75
d) Não há independência nas paragens em semáforos consecutivos.

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