Os dados abaixo são as alturas, em c m, dos presidentes dos EUA no Século XX:
170178182180183178182188175179185192182183177185188189
Mostre as expressões e os dados usados nos cálculos!
a) Encontre a média, mediana, variância e desvio-padrão das alturas dos presidentes
b) Construa um intervalo de 95 \% de confiança para a média populacional
c) Teste a hipótese de que a altura dos presidentes é maior que a da média da população ( 175,3 \mathrm{~cm} ), com nível de significância de 0,05 .

Passo 1

O enunciado fornece as alturas (em cm) dos presidentes dos EUA no século XX, que são os dados abaixo:
170,\;178,\;182,\;180,\;183,\;178,\;182,\;188,\;175,\;179,\;185,\;192,\;182,\;183,\;177,\;185,\;188,\;189
As perguntas são:
  1. Calcular a média, a mediana, a variância e o desvio-padrão dessas alturas.
  2. Construir um intervalo de 95\% de confiança para a média populacional.
  3. Testar, ao nível de significância \alpha=0,05, a hipótese de que a altura média dos presidentes é maior que a média da população \,175,3\;cm.

Passo 2

Vamos começar calculando a média aritmética (média amostral). A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde n é o número de observações e x_i são as observações. Aqui temos n=18. Primeiro somamos todos os valores:
\sum_{i=1}^{18} x_i = 170+178+182+180+183+178+182+188+175+179+185+192+182+183+177+185+188+189.
Fazendo a soma obtemos
\sum_{i=1}^{18} x_i = 3276.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{3276}{18}=182,0\;.
Portanto a média amostral é \bar{x}=182,0\;cm.

Passo 3

Agora a mediana. A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Ordenando os dados de forma crescente obtemos:
170,\;175,\;177,\;178,\;178,\;179,\;180,\;182,\;182,\;182,\;183,\;183,\;185,\;185,\;188,\;188,\;189,\;192.
Como n=18 é par, a mediana é a média dos elementos na posição 9 e 10. Os valores 9^\text{o} e 10^\text{o} são ambos 182. Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{182+182}{2}=182,0\;cm.

Passo 4

Agora a variância e o desvio-padrão amostrais. Vou usar a fórmula da variância amostral (estimador não viciado):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média amostral e n-1 é o grau de liberdade. Primeiro calculemos as diferenças e os quadrados (x_i-\bar{x})^2. Como \bar{x}=182,0, temos:
\begin{aligned} (170-182)^2 &= (-12)^2 = 144,\\\ (178-182)^2 &= (-4)^2 = 16,\\\ (182-182)^2 &= 0^2 = 0,\\\ (180-182)^2 &= (-2)^2 = 4,\\\ (183-182)^2 &= 1^2 = 1,\\\ (178-182)^2 &= 16,\\\ (182-182)^2 &= 0,\\\ (188-182)^2 &= 6^2 = 36,\\\ (175-182)^2 &= (-7)^2 = 49,\\\ (179-182)^2 &= (-3)^2 = 9,\\\ (185-182)^2 &= 3^2 = 9,\\\ (192-182)^2 &= 10^2 = 100,\\\ (182-182)^2 &= 0,\\\ (183-182)^2 &= 1,\\\ (177-182)^2 &= (-5)^2 = 25,\\\ (185-182)^2 &= 9,\\\ (188-182)^2 &= 36,\\\ (189-182)^2 &= 7^2 = 49. \end{aligned}
Somando esses quadrados obtemos
\sum_{i=1}^{18}(x_i-\bar{x})^2 = 504.
Agora a variância amostral:
s^2=\frac{504}{18-1}=\frac{504}{17}=29,64705882\approx29,647\;(\text{cm}^2).
E o desvio-padrão amostral é a raiz quadrada:
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{29,64705882}\approx5,444\;cm.

Passo 5

Construção do intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu. Como o desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena, usamos o intervalo baseado na distribuição t:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade. Aqui \alpha=0,05 e n-1=17. O valor crítico é aproximadamente
t_{0,975,\;17}\approx2,110.
O erro padrão da média é
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{5,444}{\sqrt{18}}.
Como \sqrt{18}\approx4,2426, temos
\text{SE}\approx\frac{5,444}{4,2426}\approx1,284.
A margem de erro é
\text{ME}=t_{0,975,17}\cdot\text{SE}\approx2,110\cdot1,284\approx2,709.
Portanto o intervalo de 95\% de confiança para \mu é
\bar{x}\pm\text{ME}=182,0\pm2,709,
ou seja
\text{IC}_{95\%}=(179,291,\;184,709)\approx(179,29\;cm,\;184,71\;cm).

Passo 6

Teste de hipótese de que a altura média dos presidentes é maior que 175,3\;cm. Vamos usar o teste t unilateral à direita. As hipóteses são:
\begin{aligned} H_0&:\\ \mu=175,3,\\\ H_1&:\\ \mu>175,3. \end{aligned}
A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_0=175,3. Já temos \bar{x}=182,0, s\approx5,444 e s/\sqrt{n}\approx1,284. Logo
t\approx\frac{182,0-175,3}{1,284}=\frac{6,7}{1,284}\approx5,218.
Os graus de liberdade são 17. O valor crítico para um teste unilateral com \alpha=0,05 é
t_{0,95,\;17}\approx1,740.
Como t\approx5,218 é muito maior que 1,740, rejeitamos H_0. O p-valor (unilateral) é p=\Pr(T_{17}\ge 5,218), que é muito pequeno (praticamente <0,0001). Conclusão: há evidência estatística forte, ao nível 0,05, de que a altura média dos presidentes é maior que 175,3\;cm.

Resposta

(a) \bar{x}=182,0\;cm
\text{mediana}=182,0\;cm
s^2=\dfrac{504}{17}\approx29,647\;cm^2
s\approx5,444\;cm
(b) \text{IC}_{95\%}(\mu) \approx (179,29\;cm,\;184,71\;cm)
(c) Estatística de teste t\approx5,218; p\text{-valor}<0,0001. Como t>1,740, rejeitamos H_0 e concluímos que a altura média dos presidentes é maior que 175,3\;cm (ao nível \alpha=0,05).

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