Os dados abaixo são as alturas, em
, dos presidentes dos EUA no Século XX:
170178182180183178182188175179185192182183177185188189
Mostre as expressões e os dados usados nos cálculos!
a) Encontre a média, mediana, variância e desvio-padrão das alturas dos presidentes
b) Construa um intervalo de
de confiança para a média populacional
c) Teste a hipótese de que a altura dos presidentes é maior que a da média da população (
), com nível de significância de 0,05 .
Mostre as expressões e os dados usados nos cálculos!
a) Encontre a média, mediana, variância e desvio-padrão das alturas dos presidentes
b) Construa um intervalo de
c) Teste a hipótese de que a altura dos presidentes é maior que a da média da população (
Passo 1
O enunciado fornece as alturas (em
) dos presidentes dos EUA no século XX, que são os dados abaixo:
As perguntas são:
- Calcular a média, a mediana, a variância e o desvio-padrão dessas alturas.
- Construir um intervalo de
de confiança para a média populacional. - Testar, ao nível de significância
, a hipótese de que a altura média dos presidentes é maior que a média da população .
Passo 2
Vamos começar calculando a média aritmética (média amostral). A fórmula da média amostral é
onde
é o número de observações e
são as observações. Aqui temos
. Primeiro somamos todos os valores:
Fazendo a soma obtemos
Agora a média:
Portanto a média amostral é
.
Passo 3
Agora a mediana. A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Ordenando os dados de forma crescente obtemos:
Como
é par, a mediana é a média dos elementos na posição
e
. Os valores
e
são ambos
. Logo a mediana é
Passo 4
Agora a variância e o desvio-padrão amostrais. Vou usar a fórmula da variância amostral (estimador não viciado):
onde
é a média amostral e
é o grau de liberdade. Primeiro calculemos as diferenças e os quadrados
. Como
, temos:
Somando esses quadrados obtemos
Agora a variância amostral:
E o desvio-padrão amostral é a raiz quadrada:
Passo 5
Construção do intervalo de confiança de
para a média populacional
. Como o desvio padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena, usamos o intervalo baseado na distribuição
:
onde
é o quantil da distribuição
com
graus de liberdade. Aqui
e
. O valor crítico é aproximadamente
O erro padrão da média é
Como
, temos
A margem de erro é
Portanto o intervalo de
de confiança para
é
ou seja
Passo 6
Teste de hipótese de que a altura média dos presidentes é maior que
. Vamos usar o teste
unilateral à direita. As hipóteses são:
A estatística de teste é
onde
. Já temos
,
e
. Logo
Os graus de liberdade são
. O valor crítico para um teste unilateral com
é
Como
é muito maior que
, rejeitamos
. O
-valor (unilateral) é
, que é muito pequeno (praticamente
). Conclusão: há evidência estatística forte, ao nível
, de que a altura média dos presidentes é maior que
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Estatística de teste
;
. Como
, rejeitamos
e concluímos que a altura média dos presidentes é maior que
(ao nível
).