Um teste detecta a presença de um certo tipo de bactérias na água com uma probabilidade 0,9 no caso de o referido tipo existir. Se não existir, detecta a sua ausência com probabilidade 0,8 . Sabendo que a probabilidade de que uma amostra de água contenha bactérias daquele tipo é 0,20 , calcule a probabilidade de que, ao retirar uma amostra ao acaso:
a) o teste dê resultado positivo;
R: 0,34.
b) haja de facto bacterias quando o teste dá positivo;
R: 0,53 .
c) o teste dê um resultado errado.
R: 0,18 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 coisas. Informações relevantes (vou escrever tudo em notação de probabilidade):
P(B)=0,20
P(T^+\mid B)=0,90
P(T^-\mid \overline{B})=0,80

Onde: B = “a amostra contém o tipo de bactéria”, \overline{B} = “a amostra não contém o tipo de bactéria”, T^+ = “teste dá positivo”, T^- = “teste dá negativo”.
Perguntas pedidas:

a) Calcular P(T^+) — probabilidade do teste dar positivo.
b) Calcular P(B\mid T^+) — probabilidade de haver de facto bactérias dado que o teste deu positivo.
c) Calcular a probabilidade de o teste dar um resultado errado (ou seja, resultado diferente da realidade).

Passo 2

Explico conceitos que vamos usar (devagar e sem pular etapas).
  1. Complemento: \overline{B} é o evento complementar de B, então
P(\overline{B})=1-P(B).

2) Probabilidade condicional: para dois eventos A e C,
P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}},
ou seja, é a probabilidade de A acontecer quando já sabemos que C aconteceu.

3) Teorema da probabilidade total (útil para P(T^+)): se \{B,\overline{B}\} formam uma partição do espaço,
P(T^+)=P(T^+\mid B)P(B)+P(T^+\mid \overline{B})P(\overline{B}).
Expliquei: isso soma a contribuição de casos em que as bactérias existem e em que não existem.

4) Teorema de Bayes (útil para P(B\mid T^+)):
P(B\mid T^+)=\frac{P(T^+\mid B)P(B)}{P(T^+)},
ou seja, invertemos a condicional usando a probabilidade total no denominador.

5) Erro do teste: ocorre quando temos falso negativo ( T^- e B) ou falso positivo ( T^+ e \overline{B}). Assim
P(\text{erro})=P(T^-\cap B)+P(T^+\cap \overline{B}).
Esses termos podem ser escritos como P(T^-\mid B)P(B) e P(T^+\mid \overline{B})P(\overline{B}).

Passo 3

Calcule P(T^+) (item a) usando o teorema da probabilidade total. Primeiro obtenho P(\overline{B}):
P(\overline{B})=1-P(B)=1-0,20=0,80.
Agora preciso de P(T^+\mid \overline{B}). Como o enunciado dá P(T^-\mid \overline{B})=0,80, o complemento é
P(T^+\mid \overline{B})=1-P(T^-\mid \overline{B})=1-0,80=0,20.
Aplicando o teorema da probabilidade total:
P(T^+)=P(T^+\mid B)P(B)+P(T^+\mid \overline{B})P(\overline{B}).
Substituo os valores:
P(T^+)=0,90\cdot 0,20 + 0,20\cdot 0,80.
Faço as multiplicações passo a passo:
0,90\cdot 0,20=0,18,
0,20\cdot 0,80=0,16.
Somando:
P(T^+)=0,18+0,16=0,34.

Passo 4

Calcule P(B\mid T^+) (item b) usando Bayes. A fórmula é
P(B\mid T^+)=\frac{P(T^+\mid B)P(B)}{P(T^+)}.
Já temos P(T^+\mid B)P(B)=0,90\cdot 0,20=0,18 (vimos no passo anterior) e P(T^+)=0,34. Portanto
P(B\mid T^+)=\frac{0,18}{0,34}.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 0,02:
\frac{0,18}{0,34}=\frac{9}{17}\approx 0,529411\ldots
Arredondando a duas casas decimais (convencional em problemas deste tipo):
P(B\mid T^+)\approx 0,53.
Interpretação curta: mesmo com um teste sensível, por a prevalência ser 0,20 e haver falsos positivos, a probabilidade posterior fica em torno de 53\%.

Passo 5

Calcule a probabilidade de o teste dar errado (item c). Erro = falso negativo ou falso positivo. Escrevo:
P(\text{erro})=P(T^-\mid B)P(B)+P(T^+\mid \overline{B})P(\overline{B}).
Sabemos P(T^-\mid B)=1-P(T^+\mid B)=1-0,90=0,10 e P(T^+\mid \overline{B})=0,20 (já calculado). Substituo:
P(\text{erro})=0,10\cdot 0,20 + 0,20\cdot 0,80.
Faço as multiplicações:
0,10\cdot 0,20=0,02,
0,20\cdot 0,80=0,16.
Somando:
P(\text{erro})=0,02+0,16=0,18.
Confirmação rápida: faz sentido numericamente porque dos 34\% de testes positivos, 16\% vêm de falsos positivos; dos 66\% de testes negativos, 2\% vêm de falsos negativos.

Resposta

a) 0,34
b) 0,53
c) 0,18

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