Um teste detecta a presença de um certo tipo de bactérias na água com uma probabilidade 0,9 no caso de o referido tipo existir. Se não existir, detecta a sua ausência com probabilidade 0,8 . Sabendo que a probabilidade de que uma amostra de água contenha bactérias daquele tipo é 0,20 , calcule a probabilidade de que, ao retirar uma amostra ao acaso:
a) o teste dê resultado positivo;
R: 0,34.
b) haja de facto bacterias quando o teste dá positivo;
R: 0,53 .
c) o teste dê um resultado errado.
R: 0,18 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede 3 coisas. Informações relevantes (vou escrever tudo em notação de probabilidade):
P(B)=0,20
P(T^+\mid B)=0,90
P(T^-\mid \overline{B})=0,80
Onde: B = “a amostra contém o tipo de bactéria”, \overline{B} = “a amostra não contém o tipo de bactéria”, T^+ = “teste dá positivo”, T^- = “teste dá negativo”.
Perguntas pedidas:
a) Calcular P(T^+) — probabilidade do teste dar positivo.
b) Calcular P(B\mid T^+) — probabilidade de haver de facto bactérias dado que o teste deu positivo.
c) Calcular a probabilidade de o teste dar um resultado errado (ou seja, resultado diferente da realidade).
Passo 2
Explico conceitos que vamos usar (devagar e sem pular etapas).
Complemento: \overline{B} é o evento complementar de B, então
P(\overline{B})=1-P(B).
2) Probabilidade condicional: para dois eventos A e C,
P(A\mid C)=\frac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}},
ou seja, é a probabilidade de A acontecer quando já sabemos que C aconteceu.
3) Teorema da probabilidade total (útil para P(T^+)): se \{B,\overline{B}\} formam uma partição do espaço,
Expliquei: isso soma a contribuição de casos em que as bactérias existem e em que não existem.
4) Teorema de Bayes (útil para P(B\mid T^+)):
P(B\mid T^+)=\frac{P(T^+\mid B)P(B)}{P(T^+)},
ou seja, invertemos a condicional usando a probabilidade total no denominador.
5) Erro do teste: ocorre quando temos falso negativo (T^- e B) ou falso positivo (T^+ e \overline{B}). Assim
Arredondando a duas casas decimais (convencional em problemas deste tipo):
P(B\mid T^+)\approx 0,53.
Interpretação curta: mesmo com um teste sensível, por a prevalência ser 0,20 e haver falsos positivos, a probabilidade posterior fica em torno de 53\%.
Passo 5
Calcule a probabilidade de o teste dar errado (item c). Erro = falso negativo ou falso positivo. Escrevo:
Sabemos P(T^-\mid B)=1-P(T^+\mid B)=1-0,90=0,10 e P(T^+\mid \overline{B})=0,20 (já calculado). Substituo:
P(\text{erro})=0,10\cdot 0,20 + 0,20\cdot 0,80.
Faço as multiplicações:
0,10\cdot 0,20=0,02,
0,20\cdot 0,80=0,16.
Somando:
P(\text{erro})=0,02+0,16=0,18.
Confirmação rápida: faz sentido numericamente porque dos 34\% de testes positivos, 16\% vêm de falsos positivos; dos 66\% de testes negativos, 2\% vêm de falsos negativos.